מבוא

תורת היחסות הפרטית היא, ללא ספק, אחת המהפכות הבסיסיות בפיסיקה של תחילת המאה העשרים, אשר שינתה עד היסוד את תפיסותינו לגבי זמן ומרחב (נקודת הציון שלה במאמר שפרסם איינשטיין בשנת 1905 "על האלקטרודינמיקה של גופים נעים").

בתום מאה שנה להיווסדה, ניתן להראות, כי המהפכה של תורת היחסות הפרטית עדיין לא תמה וניתן עוד לגלות בה פנים חדשות ומפתיעות.

בעיקר ניתן להראות, כי תורת היחסות הפרטית, כפי שהיא ומבלי לשנות בה שום תג ותו- לא במשוואות ולא בהנחות היסוד שלה, תומכת ב"בו זמניות" מוחלטת של אירועים בכל המערכות האינרציאליות.

פרוש הדבר, שאירועים "בו-זמניים" במערכת אינרציאלית אחת, יהיו "בו-זמניים" בכל מערכת אינרציאלית אחרת במובן הבסיסי של זמני שעון באותה מערכת אינרציאלית. זאת בניגוד לפרשנות הסטנדרטית של תורת היחסות, הטוענת ליחסיות ה"בו-זמניות".

ההוכחה מתבססת על אחד האפקטים הידועים ביותר, הנגזר מיחסות פרטית-אפקט "התארכות הזמן" שהוא בעצמו אפקט יחסותי מוכח לחלוטין המתגלה הן בניסויים מעבדתיים והן בתופעות טבעיות ידועות הקשורות בקרינה קוסמית (זמני חיים של מיואונים למשל, המגיעים מהאטמוספרה).

הוכחת מוחלטות ה"בו-זמניות"

להלן הוכחת מוחלטות הבו-זמניות שלב אחרי שלב:

נתאר חלקיקP₁ נע במהירות v בין שתי נקודות B ו-C המצויות במרחק 2L₀ במערכת המעבדה (נניח לשם פשטות כי הנקודה B נמצאת בראשית הצירים ותחילת הניסוי בזמן t=0 )

הקשר בין זמן מעבר החלקיק הנמדד במערכת המעבדה, ,t₀=2L₀/v ,t₀ לבין הזמן העצמי, t₀ הנמדד במערכת החלקיק, ניתן ע"י אפקט "התארכות הזמן": t₀ γ*=t₀ כאשר (1-(v²/c²))^-(1/2)=γ

נניח בהמשך שבנקודה A משמאל לראשית הצירים במרחק2L₀ מ-B (למעשה בקואורדינטה 2L₀-) מצוי חלקיק נוסף P₂ המתחיל לנוע, גם הוא, בזמן t=0לכוון B.

P₂ יגיע מ-A ל-B בזמן t₀ (בשעונו), שהוא, כאמור, הזמן להגעת P₁ מ-B ל-C. הזמן במערכת המעבדה להגעת החלקיקים לנקודות B ו-C בהתאמה הוא, כאמור t_0, t₀* γ=t₀ ולכן אירועי הגעת החלקיקים P₁, P₂ לנקודות C, B בהתאמה הם בו-זמניים הן במערכת החלקיקים והן במערכת המעבדה.

אפשר , כמובן להסתכל על מערכת החלקיקים P₁, P₂ כמייצגים קצות גוף באורך 2L₀ הנע במהירות v במערכת המעבדה. בהסתכלות זאת לא אמרנו לעיל בעצם דבר אחר מאשר האמירה הטריוויאלית, ששעונים המותקנים בקצות גוף הנע במערכת המעבדה ומסונכרנים במערכת הגוף P₁, P₂ (שעונים המראים את הזמן העצמי במערכת הגוף) ימצאו בכל רגע נתון בין שני שעונים, המסונכרנים במערכת המעבדה. זאת בדיוק המשמעות של תנועת גוף במערכת המעבדה ומוחלטות הבו-זמניות חיונית לתיאור תנועה זו.

על מנת להשלים את הטיעון נתייחס לניסוי המחשבתי הידוע כניסוי הרכבת של איינשטיין. P₁, P₂ ייצגו את דפנות הקרון ובמרכז "הקרון" נציב חלקיק P₀, אשר ישמש כמקור אור נקודתי.

כאשר P₁ יהיה במרחק L₀v/cׂ מנקודה C (P₂ יהיה בהתאמה במרחק L₀v/cׂ מנקודה B)

נשגר, במערכת הקרון, פולס אור מ- P₀ לכיוון הדפנות (חלקיקים P₁, P₂ בהתאמה).

פולס האור יגיע לדפנות (P₁, P₂) בזמן t₁ , L₀/c= t₁ במערכת המעבדה, שהוא הזמן הדרוש להתלכדות קצות הקרון P₁, P₂ עם נקודות C, B בהתאמה על המסילה.

זמן הגעת הפולס אל הדפנות במערכת הקרון ניתן באמצעות נוסחת התארכות הזמן:

כלומר הבו-זמניות נשמרת גם בניסוי המחשבתי הידוע בתצורת קרון.

נשאלת השאלה: מדוע הניסוי המחשבתי המקורי של "הרכבת של איינשטיין" מוביל, בפרשנות הסטנדרטית, למסקנה הפוכה על יחסיות הבו-זמניות? כלומר פולס האור שמגיע לדפנות בו-זמנית במערכת הקרון-לא יגיע לדפנות. בו זמנית במערכת המעבדה.

עפ"י התיאור האיכותי הסטנדרטי, במערכת המעבדה הדופן הקדמית, P₁ מתרחקת כביכול מחזית הגל, בשעה שהדופן האחורית, P₂ מתקרבת אליו ולכן במערכת המעבדה פולס האור יפגוש את הדופן האחורית לפני שהוא פוגש את הדופן הקדמית.

התשובה הבסיסית היא שהתיאור האיכותי הנ"ל איננו נכון, כי אם הבו- זמניות היא יחסית, כפי שטוענת הפרשנות הסטנדרטית, אזי מלכתחילה יש פגם בניסוי המחשבתי הנ"ל-לא ניתן מראש לתאר את הקרון במערכת המעבדה כפי שהוא מתואר, שבו הדפנות P₁, P₂ מתחילות לנוע בו-זמנית עם זמן יציאת הפולס מ-P₀, קרי הנחת הבו-זמניות מובנית אפריורי בתיאור הניסוי.

תשובה איכותית זו לסוגית יחסיות מול מוחלטות הבו-זמניות עדיין איננה מספקת ויש להתייחס גם לנושא הכמותי:

יחסיות הבו- זמניות עפ"י הפרשנות הסטנדרטית, נגזרת מטרנספורמציית לורנץ. כלומר עבור אירועים מרוחקים מרחק x’∆ הקורים בו-זמנית במערכת החלקיקים (x’,t’), קרי

t’=0∆

אזי מתוך טרנספורמציית לורנץ במערכת( x, t) –מערכת המעבדה- נקבל במקרה שלנו t=2L₀v/c²∆

התשובה לסוגיה כמותית זו, כפי שתנותח להלן מהותית ביותר להבנת תורת היחסות הפרטית בראייתה החדשנית!

ניתוח סוגיית הבו-זמניות בראיה חדשנית של יחסות פרטית

אם נשאל פיסיקאי מן השורה, מה ההבדלים המהותיים בין טרנספורמציית גלילאו לטרנספורמציית לורנץ, נקבל, קרוב לודאי, את התשובה שבמשוואות לורנץ גם הזמן עובר טרנספורמציה בשעה שבמשוואות גלילאו הזמן הוא קבוע. תשובה זו היא נכונה, אבל חלקית. הבדל מהותי נוסף ולא פחות חשוב הוא שטרנספורמציית גלילאו היא טרנספורמציה של קוארדינטות מרחק וזמן (הזמן כאמור לא משתנה בטרנספורמציה) במרחב זמן אויקלידי. קוארדינטות אלה הן בעצמן מרחקים וזמנים הנמדדים באמצעות סרגלים ושעונים. טרנספורמציית לורנץ, לעומת זאת, היא טרנספורמציה של קואורדינטות מרחק-זמן במרחב-זמן מינקובסקי. קואורדינטות מרחק-זמן אלה אינן בהכרח מרחקים וזמנים, הנמדדים בסרגלים ושעונים. אמירה זו דורשת כמובן הבהרה!

כדי להבין את משמעות קוארדינטות מרחק-זמן במרחב-זמן מינקובסקי נחזור לניסוי החלקיקים (המדמים את ניסוי הרכבת של איינשטיין). כאמור, באותו ניסוי,פולסי אור נשלחים בזמן t= t =0 מחלקיק P₀ לחלקיקים P₁, P₂ , כאשר P₀ במרכז מערכת P₁, P₂ (באורך 2L₀ ) הנעה במהירות v (בכיוון החיובי של ציר X).

כפי שהראנו לעיל זמן ההגעה של הפולס מ- P₀ ל-P₁ ול- P₂ נמדד בשעוני מערכת המעבדה כזמן L₀/c= t₁ ובשעוני מערכת החלקיקים כזמן

ולכן הגעת הפולסים ל- P₁, P₂ היא בו-זמנית הן במערכת המעבדה והן במערכת החלקיקים.

נבדוק כעת את קואורדינטות המיקום במערכת המעבדה של הגעת הפולס ל- P₁, P₂ בהתאמה יחסית ל-x₀=0 שהוא מיקום P₀ במערכת המעבדה בעת יציאת הפולס (הקואורדינטות מתקבלות מחישוב פשוט המבוסס על התנועה היחסית בין מערכת המעבדה- נקודות A,B,C ומערכת החלקיקים-נקודות

P₂,P₀,P₁ ). הגעת הפולס ל-P₁ מתרחשת בנקודה C כאשר P₁ ו-C מתלכדות. קוארדינטת נקודה C ניתנת ע"י L_C=L₀ (1+v/c)

כנ"ל הגעת הפולס ל-P2 מתרחשת כאשר P2 ו-B מתלכדות. קוארדינטת B ניתנת ע"י

L_B=L₀(1-v/c) .

קוארדינטות המרחק-זמן, t_C ,t_B ניתנות בהתאמה ע"י:

t_C= L_C/c=(L₀/c)(1+v/c)

t_B= L_B/c=(L₀/c)(1-v/c)

וזאת בדיוק התוצאה המתקבלת מטרנספורמצית לורנץ עם

הפרשי הזמנים של האירועים (בזמני שעונים) במערכת המעבדה ובמערכת החלקיקים ניתן בהתאם ע"י:

הפרשנות הסטנדרטית המציגה את t_BC=2L₀v/c²∆ כהפרש זמני שעון במערכת המעבדה היא לפיכך מוטעית ביסודה והיא שגרמה באינטרפרטציה הסטנדרטית של יחסות פרטית לתפיסה מוטעית של יחסיות הבו-זמניות במובן של זמני שעון במערכת המעבדה, דבר שגורם בעליל לעיוות המציאות הפיסיקלית.

היחס בין זמני שעון במערכת החלקיקים ומערכת המעבדה ניתן כאמור אך ורק ע"י נוסחת התארכות הזמן

מן הראוי לשים לב כי קואורדינטת המרחב-זמן בדוגמא לעיל כוללת שני מרכיבים: מרכיב זמני שהוא L₀/c (הנובע מתנועת הפולס ל-P₁ או P₂ בהתאמה) ומרכיב מרחב-זמני, שהוא L₀v/c² הנובע מהתנועה היחסית שבין מערכת החלקיקים ומערכת המעבדה.

בתפיסה חדשנית זו של יחסות פרטית נמצא גם המפתח לפתרון נכון של סוגיית יירוט מטרה הנעה במהירות קרובה למהירות האור אשר הוצגה בהקדמה לעיל. הפתרון יוצג להלן.

יירוט מטרה הנעה במהירות הקרובה למהירות האור

סוגיית היירוט של מטרה הנעה במהירות קרובה למהירות האור קשורה כאמור ביכולת הגילוי של מטרה כזו. הטענה כנגד יכולת היירוט היא שכל פולס המשוגר מהמטרה, שיכול לשמש לצורך גילויה -ינוע גם הוא במהירות האור ולכן יגיע ליעד ביחד (או כמעט ביחד) עם המטרה. השאלה הייתה: האומנם?

נחזור לחלקיקים P₀ , P₁ ,הנמצאים כאמור במרחק L₀ זה מזה והנעים במהירות v בכיוון החיובי של ציר X (אנו מתעלמים כרגע מחלקיק P₂ שאיננו נחוץ לנו לדיון הנוכחי ). P₀ בסוגיה שלפנינו הוא גוף המטרה, המשגר פולס לעבר חלקיק P₁ כאשר P₁ נמצא במרחק L₀v/c מנקודה C.

כאמור לעיל (בסעיף הקודם), זמן הגעת הפולס ל- P₁במערכת המעבדה הוא L₀/c= t₁ שהוא גם זמן הגעת הפולס לנקודה C (הזמן להתלכדות חלקיק P₁ עם נקודה C). נקודה C היא הנקודה שבה ממתינה לפולס, בסוגיה שהצגנו, מערכת הגילוי והיירוט והיא נמצאת כאמור בקואורדינטת מרחק-זמן של:

t_C= L_C/c=(L₀/c)(1+v/c)

כאשר מהירות המערכת (חלקיקים P₀, (P₁שווה למהירות האור, v=c , עדיין זמן הגעת הפולס ל-C יהיה

L₀/c= t₁ וקואורדינטת מרחק-זמן של נקודהC תהייה כעת t_C=2L₀/c. זמן הגעת המטרה P₀ לנקודה C במערכת המעבדה יהיה בהתאם 2L₀/c= t₂ שהוא זמן כפול מזמן הגעת הפולס- t₂=2t₁.לכן המטרה, הנעה במהירות קרובה למהירות האור ניתנת בעיקרון לגילוי ויירוט.

ניתן להגיע לתוצאה זו גם משיקולי סימטריה פשוטים:

אם חלקיק P₀ נע כלפי C במהירות האור (או קרוב אליה) הרי מבחינת צופה ב-- P₀ C נע כלפיו במהירות האור.

פולס שישוגר מ-C ל- P₀ כאשר P₀ במרחק 2L₀ ממנו יפגוש את P₀, בראיית מערכת המעבדה, לאחר זמן L₀/c מרגע השיגור ואילו P₀ ו-C ייפגשו בזמן כפול 2L₀/c.

יש לשים לב כי תוצאה זו שמתאימה כביכול לחוק חיבור המהירויות הניוטוני-איננה נובעת ממנו אלא מהמהירות היחסית שבין מערכות אינרציאליות ומאפקט "התארכות הזמן" היחסותי. כמו כן, חוק חיבור המהירויות היחסותי הוא זה שתקף.

המסקנה החד משמעית מהניתוח לעיל היא:ניתן לגלות וליירט מטרה הנעה במהירות קרובה למהירות האור!

ניתוח אפקט "התארכות הזמן" ואפקט "התקצרות האורך" בראייה חדשנית של יחסות פרטית

הבנת טרנספורמציית לורנץ כטרנספורמציה של קוארדינטות מרחב-זמן, שאינם בהכרח מרחקים וזמנים הנמדדים באמצעות סרגלים ושעונים, חיוני ביותר להבנת האפקטים הפיסיקליים של "התארכות הזמן" ו"התקצרות האורך" לאשורם, כפי שיוצג להלן.

אפקט "התארכות הזמן" הוא כמובן אחד האפקטים המרכזיים של תורת היחסות הפרטית-אפקט שהוכח כאמור, בניסויים שונים ובמדידת תופעות טבעיות, כמו הגעת מיואונים מהאטמוספרה לפני הקרקע,למרות זמן החיים הקצר שלהם. הביטוי של אפקט זה, עפ"י הדוגמא שהצגנו לעיל של תנועת חלקיק P₁ מנקודה B לנקודה C במערכת המעבדה ניתן ע"י t₀* γ=t₀ כאשר t₀ הוא הזמן הנמדד בשעוני המעבדה (בנקודות B,C- בהנחה של שעונים מסונכרנים במערכת המעבדה) ו- t₀ הוא הזמן העצמי הנמדד בשעון החלקיק P₁.

מן הראוי לשים לב- גם t₀ הוא זמן עצמי של שעוני המעבדה!

אין שום בעיה עם אפקט "התארכות הזמן"-הוא נגזר ישירות מטרנספורמציית לורנץ. הבעיה שעוררה ויכוחים רבים בעבר הייתה באסימטריה של האפקט או מה שנקרא "פרדוכס התאומים". השאלה הייתה: אם טרנספורמציית לורנץ סימטרית מדוע אפקט "התארכות הזמן" איננו סימטרי? התשובה שניתנה לסוגיה זו, במסגרת הפרשנות הסטנדרטית, רחוקה מלהניח את הדעת. עפ"י ההסבר הסטנדרטי על מנת להשוות זמנים בין שתי המערכות האינרציאליות יש, בדוגמא לעיל, להחזיר את חלקיק P₁ לנקודת המוצא-נקודה B והחזרה זו היא ששוברת את הסימטריה ולכן הזמן העצמי שנמדד בשעון החלקיק יהיה קצר מהזמן העצמי הנמדד בשעוני המעבדה.

התשובה ל"פרדוכס התאומים" במסגרת הראייה החדשה של יחסות פרטית היא פשוטה לחלוטין: כיוון שטרנספורמציית לורנץ היא טרנספורמציה של קואורדינטות מרחב-זמן לכן אפקט "התארכות הזמן" הוא אפקט סימטרי תמיד בקואורדינטות מרחב-זמן. האפקט הוא אסימטרי בזמני שעון, בשעוני מערכת המעבדה ומערכת החלקיק. להחזרת החלקיק בפרשנות הסטנדרטית לנקודת המוצא אין שום קשר עם שבירת הסימטריה בין המערכות האינרציאליות. תפקידה לקזז את האפקט הקואורדינטיבי המרחב-זמני על מנת שניתן יהיה להשוות זמנים עצמיים- זמני שעון בין מערכת החלקיק ומערכת המעבדה.

היבט נוסף קשור לאפקט "התקצרות האורך" הנגזר גם הוא מיחסות פרטית וגם כאן ראוי להעמיד דברים על דיוקם: המרחק 2L₀ שבין החלקיקים P₁, P₂ , בדוגמא לעיל, הוא המרחק במערכת המעבדה. גם במערכת החלקיקים מרחק זה איננו משתנה והוא נשאר 2L₀. מה שמשתנה בעצם, עקב התנועה ובשל אפקט "התארכות הזמן", הוא המרחק-זמן שבין החלקיקים, L הניתן בהתאמה ע"י L=2L₀/γ . לכן אפקט "התקצרות האורך" בפרשנות הסטנדרטית כאפקט סימטרי במערכות אינרציאליות גם הוא אפקט קואורדינטיבי (האורך עבור קואורדינטות זמן שוות ולא עבור זמני שעון שווים) ואיננו ניתן למדידה פיסיקלית (באמצעות סרגלים). לעומת זאת אפקט התקצרות המרחק-זמן הוא אפקט פיסיקלי אסימטרי הקורלטיבי עם אפקט "התארכות הזמן" והוא ניתן למדידה פיסיקלית (באמצעות שעונים).

מן הראוי לשים לב כי עבור פוטון הנע מנקודה B לנקודה C הזמן העצמי-זמן השעון הוא תמיד 0 והמרחק-זמן מבחינתו בין הנקודות B,C הוא 0 למרות שהמרחק עצמו הוא 2L₀. בלשון ציורית ניתן לומר, שהתנועה במהירות האור איננה מכווצת את היקום ל-0, אלא מאפשרת קיום מערכת קואורדינטות, שבה המרחקים והזמנים שונים מ-0 ,למרות שהמרחק-זמן הוא 0.

סיכום

בניגוד לפרשנות הסטנדרטית, הקובעת כי הבו-זמניות של אירועים היא יחסית בין מערכות אינרציאליות-הראייה החדשנית של יחסות פרטית קובעת ומוכיחה כי הבו-זמניות של אירועים היא מוחלטת!

ההבדל היסודי בין שתי הגישות נובע מכך שבראייה החדשנית, מרחקים וזמנים (הנמדדים באמצעות סרגלים ושעונים) אינם בהכרח זהים לקואורדינטות במרחב-זמן מינקובסקי הכפופות לטרנספורמצית לורנץ, אם כי קיים קשר ביניהם כפי שהוסבר לעיל.

הבדל זה בין שתי הגישות הוא מהותי ביותר לתפיסת המציאות הפיסיקלית ויש לו אף השלכות על בעיות העלולות להיות מעשיות בנסיבות מסוימות ואפילו עם משמעות קיומית (דוגמת בעיית היירוט שהוצגה לעיל).

יתירה מזאת, האסימטריה של האפקטים היחסותיים "התארכות הזמן ו"התקצרות האורך" מוסברת היטב דרך הראייה החדשנית של יחסות פרטית כפי שהוצג לעיל.

לסיכום, הראייה החדשנית מציגה את המציאות הפיסיקלית הנגזרת מיחסות פרטית באור שונה לגמרי מזו של הפרשנות הסטנדרטית!