הערת עורך: הגרסה העברית של המאמר מובאת בצורה מתומצתת. המודל המתמטי של התופעה לפיתול נהרות מופיע בגרסה האנגלית של המאמר.

תופעת פיתולי הנהרות - מהי?

הנהרות והנחלים זורמים ממקום גבוה למקום נמוך הודות לכוח המשיכה. מהירות הזרימה הולכת ומואצת במורד האפיק. למרות שטבעי היה לצפות שמי הנהר יפלסו לעצמם את הדרך הקצרה ביותר, ויזרמו בקו ישר, נדיר מאוד למצוא נהר הזורם למרחק רב במסלול ישר. יש קטעים בודדים וקצרים בהם הזרימה היא בקו כמעט ישר. בצילומי אוויר הנהרות נראים בדרך כלל כקווים מתפתלים וכך הם מיוצגים גם במפות. הדבר המפתיע הוא שלהתפתלותו של נהר יש חוקיות ברורה. יתרה מזאת, במקומות שונים ובתנאים שונים יש לתופעה זו אותה חוקיות, הנהרות זורמים בטבע בפיתולים דומים זה לזה בצורתם, שמופיעים זה בעקבות זה באורח מתמיד. הפיתולים נקראים בלועזית מיאנדרים (meanders) ובעברית, בשפה המקצועית, נפתולים. מקורו של המונח "מיאנדר" הוא בשם הנהר מנדרס הזורם בתורכיה. גורמי תיירות בתורכיה מצביעים על עמק הנהר הזה כערש תרבויות רבות.

איור 1: מפת תורכיה ובה הנהר מנדרס

איור 2: נפתולי הנהר קולוראדו

יחס הפיתול של נפתול

כפי שיתברר בהמשך, הנפתולים בנהר משנים את צורתם ללא הרף. מצב ההתפתחות של הנפתולים בנהר מאופיין על ידי היחס המספרי בין אורך האפיק בו זורם הנהר לבין אורכו של אותו נהר בקו אווירי. יחס זה נקרא יחס הפיתול. יחס הפיתול השכיח הוא בערך 3:2. נהר הירדן הוא אחד הנהרות הבולטים ביחס פיתול גבוה במיוחד לא רק בהשוואה לנחלים בישראל, אלא גם בהשוואה לנהרות אחרים בעולם.

יחס הפיתול של הירדן הוא בערך 2:1. (ר' איור 3). השתנות הנפתולים בירדן במהלך עשרות השנים האחרונות הושפעה על ידי גורמים שמעבר להתפתחות הטבעית. התערבות האדם במהלך התקין והטבעי של זרימת הירדן על ידי הפעלת סכר דגניה בשנת 1932 והטיית הירמוך בראשית שנות השישים, הקטינו את ספיקת השיא השנתית ואת ההפרש בינה לבין זרימת המינימום. התערבות זו גרמה להתקצרותם של נפתולים רבים בירדן, ובכך להקטנת יחס הפיתול הכללי שלו. אף כי מגמת ההקטנה של יחס הפיתול של הירדן תימשך, סביר להניח כי אפיק הירדן לעולם לא יהפוך לישר ממש כי המגמה הטבעית של נהרות בעולם היא לא להתיישר, אלא להתפתל לפי [1].

איור 3: נפתולי הירדן (מתוך [1], עמ' 25)

תעלומת הנפתולים

תהליך ההיווצרות של הנפתולים בכל נהר הוא דינאמי: הנפתולים של נהר מתפתחים במהלך השנים, ומשתנים בהתמדה במשך תקופות ארוכות מאוד. היווצרותם המתמדת של נפתולים היא תופעת טבע מדהימה המתרחשת בכל רחבי כדור-הארץ. היבטיה השונים קשורים לתחומים רבים של חקר פני כדור-הארץ: גיאולוגיה, גיאופיזיקה, גיאומורפולוגיה ועוד. החוקרים בררו ותיארו בפרוטרוט את התנאים הגיאופיזיים של זרימת הנהרות הגורמים להתפתחות הנפתולים ואת תהליך התפתחותם של נפתולים שעליו נרחיב בהמשך.

איור 4: תאונת רכבת ליד גרינביל, דרום קרוליינה בשנת 1965. (מתוך [4], עמ' 67)

הדבר המפליא ביותר בתופעת היווצרותם של נפתולים הוא הצורה הגיאומטרית המיוחדת והאחידה של כל הנפתולים בכל מקומות הופעתם, למרות התנאים הגיאופיזיים השונים. כך, לנפתולים המתפתחים בסביבות עתירות טעונת [2], יש אותה צורה כמו לנפתולים המתפתחים בסביבות חסרות טעונת, למשל ערוצי קרחונים וזרם הגולף. יתרה מזאת, גם מחוץ למים ניתן לראות תופעה הדומה לתופעת הנפתולים.

איורים 4, 5 מציגים שתי דוגמאות כאלה. באיור 4 רואים מסילת רכבת הרוסה כתוצאה מתאונה, שקיבלה צורה המזכירה נפתולי נהר. באיור 5 רואים כיצד ניתן ליצור נפתול באופן ידני: אוחזים רצועה צרה של פלדה גמישה בשתי נקודות, כך שבין שתי נקודות אלו הרצועה יכולה לקבל צורה כלשהי, ללא אילוצים. הרצועה "תבחר" בצורה המבטיחה את עבודת הכיפוף הקטנה ביותר. צורה זו דומה לצורת הנפתולים בנהרות.

איור 5: יצירה של נפתול על ידי פס מתכת גמיש (מתוך [4], עמ' 66)

איך ניתן להסביר את הצורה האחידה והמיוחדת של הנפתולים? בשאלה זו נטפל בסעיפים הבאים.

גורמי התפתחותם ותהליך היווצרותם של נפתולים

נפתולי נהרות הם אחת התופעות ההנדסיות הריתמיות הבולטות ביותר על פני כדור-הארץ. חקר זרימת הנהרות והנפתולים הוא אחד הנושאים בהם עוסק המדע הנקרא גיאומורפולוגיה [3]. חקר הנפתולים הוא אחד הנושאים הראשונים בהם עסקה הגיאומורפולוגיה הכמותית. בעקבות מחקרים רבים בתחום זה, התברר שתהליכי העיצוב של צורת הנפתולים הם תהליכים מסובכים במידה רבה יותר מהנראה במבט ראשון. הגיאומורפולוגיה נותנת תמונה בהירה ומפורטת של גורמי ההתפתחות ותהליך ההיווצרות של נפתולים, מ"הולדתם" ועד "מותם". במסגרת מאמר זה נסתפק בהצגת הקווים העיקריים של הנושא. דיון מעמיק בו ניתן למצוא במקורות [1], [2], [4].

האפיק ועמק הנהר

כל נהר זורם באפיק שהוא תעלה טבעית, אשר נוצרת בדרך כלל על ידי המים הזורמים, בהתאם לצורכי הזרימה. השינויים בצורת האפיק מתבטאים בעיקר בהעמקתו ובהרחבתו כתוצאה משקיעת הטעונת ומכמות המים הזורמים בנהר. העמקת האפיק מביאה ליצירת עמק הנהר. מדרונותיו הולכים ונעשים גבוהים ככל שהנהר הולך ומעמיק. המדרונות, בדרך כלל, אינם גובלים באפיק, אלא מופרדים ממנו באזורים שטוחים נמוכים המוצפים בזמני שיטפון. אזורים אלה, יחד עם האפיק, מהווים את רצפת העמק. לעיתים רצפת העמק צרה מאוד ומתלכדת עם אפיק הנהר. כך הוא ברוב הנחלים בארצנו. לעיתים רצפת העמק מאוד רחבה, עד כדי כך שהאפיק מהווה רק חלק קטן ממנה.

השפעת המבנה של רצפת העמק על התפתחות הנפתולים

מחקרים גיאומורפולוגיים רבים מציינים את השפעת המבנה של רצפת עמק הנהר על התפתחותם של נפתולים. לפי [1]: "התפתחות הנפתולים מותנית בתנאי זרימת הנהר ובמצע הסלעי הבונה את העמק שלו. באזורים הבנויים מחומר בעל ערכיות מורפולוגית נמוכה (חומר בלתי-מלוכד או שליכודו מועט, כך שתהליכי הבליה והסחיפה פועלים ביתר קלות) תחול בדרך כלל התפתחות רבה ביותר של נפתולים."

נפתולים המתפתחים באזור שבו החומר לא מלוכד מכונים "נפתולים חופשיים" [2], כי הם חופשיים להעתיק את מהלכם מגדה אחת של העמק לשנייה. כאלה הם נפתולי הירדן. באזורים הבנויים סלע מלוכד ובעל ערכיות מורפולוגית גבוהה, מתפתחים נפתולים "כלואים", חופש תנועתם מוגבל יותר והם מכונים "נפתולים חרותים" (שטנר, שם). כאלה הם הנפתולים של נחל שורק בהרי יהודה. במאמר זה אנו מתייחסים בעיקר לנפתולים חופשיים.

היווצרות הנפתול

נפתול בודד מורכב משתי קשתות המתחברות זו אל לזו ויוצרות יחד צורה של האות S. כל קשת עולה בדרך כלל על 180 מעלות.

איור 6: צורה סכמאטית של נפתול (מתוך: [4], ע' 62) W- רוחב הערוץ; l - אורך הגל; L- אורך הערוץ; rc - מחוג העקמומיות של הנפתול

באיור 6 מוצגת צורה כללית של נפתול ואפיוניו העיקריים. התעקמות מסלול הזרימה היא היסוד להתפתחותם של נפתולים. בדרך כלל, מהירות הזרימה קרוב לגדות הנהר, איטית יותר מזו שבאמצע הנהר, בגלל החיכוך עם גדות הנהר. כאשר נוצרת הפרעה לזרימת המים בקו ישר, כתוצאה ממכשול או מהבדלים בסוג הקרקע במקומות שונים, המים עוקפים את המכשול ונוצרת קשת באפיק הנהר. זרימת המים מואצת וכתוצאה מכך מתגברת פעולת הסחיפה בדופן החיצונית של הקשת כלומר בגדה הקעורה (אם מסתכלים אל הגדה מתוך האפיק). המים הזורמים אל עבר הגדה הקעורה נתקלים בה ומוחזרים חזרה ממנה תוך כדי זרימה אל הגדה הקמורה. כך חוזר על עצמו, בהמשך הזרימה, התהליך של יצירת קשת נוספת בכיוון ההפוך. במעבר דרך נקודת פיתול בין קשת אחת לבאה אחריה, כל הכוחות הפועלים במים הופכים את כיוונם ותהליך ההיווצרות של קשת חוזר על עצמו בכיוון הנגדי לקשת שכבר נוצרה. כתוצאה מתהליך זה נוצרת קשת שנייה בכיוון נגדי לזה של הקודמת, ובכך מסתיימת היווצרות של נפתול אחד. בתהליך זה מתפתח כוח צנטריפוגאלי המסייע להגדלת רדיוס הקשת. בזמן שהגדה הקעורה נסוגה עקב הסחיפה, בגדה הקמורה הולך ומצטבר סחף. הצטברויות אלו יוצרות שרטונים שטוחים דמויי משולש הנקראים שרטונים קדקודיים. במורד הנהר עוצמת הזרם גדולה יותר ולכן הנפתולים מגיעים לבגרות כשהם בעלי מחוג גדול יותר. תהליך היווצרות הנפתולים הוא, איפוא, תהליך הגורם לאיזון מהירות הזרימה של המים לאורך אפיק הנהר.

קיטוע הנפתול

במהלך התפתחות הנפתול, הולך וגדל השטח בין זרועות הקשת. שטח זה מוקף כמעט מכל צדדיו באפיק הנהר, ויוצר חצי אי זעיר - לשון יבשה. ככל שהנפתול הולך ומתפתח ונעשה יותר בוגר, זרועותיו מתחילות להתקרב זו לזו ולשון היבשה שביניהן נעשית יותר ויותר צרה, עד אשר נוצר מיצר המחבר את קצותיהן. מיצר זה נקרא צוואר הנפתול. בעת שיטפון פורצים מי הנהר ומכסים את הצוואר. בכך נקטעת אחת מקשתות הנפתול מהנהר. אף כי במשך זמן מה יישארו עדיין מים בנפתול הנקטע, הוא נשאר מנותק מהנהר עצמו. במצב זה מתיישר מהלכו של הנהר במקום הפריצה. לנפתול הקטוע יש צורת סהר והוא מכונה "מקווה הנפתול". מקווה הנפתול הולך ומתמלא סחף ומתייבש בהדרגה. מקווה נפתול שהתייבש נקרא "נפתול חרב". כל עוד קיימים תנאים הגורמים לפיתול הנהר, נוצרים נפתולים חדשים במקום אלה שנקטעו. במקומו של כל נפתול שנקטע כתוצאה מפריצה, מתהווה נפתול חדש במקום אחר, כך שאורך הנהר המתפתל נשאר כמעט קבוע.

איור 7: תיאור סכמאטי של התפתחות הנפתול בשישה שלבים (מתוך: [2], עמ' 106)

מודל מתמטי של תופעת הנפתולים

הניתוח הגיאומורפולוגי של תופעת הנפתולים, אשר הוצג בצורה תמציתית בסעיף הקודם, מסביר את צורתם החיצונית המתקבלת כתוצאה של המכניזם של היווצרותם. יחד עם זאת במסגרת ניתוח זה לא מתקבלות תשובות לשאלות ספציפיות אחדות הקשורות לצורת הנפתולים, כמו: מדוע לנפתולים של נהרות הזורמים בתנאים גיאופיזיים שונים לחלוטין יש צורה גיאומטרית אחידה? מדוע צורות הנפתולים מופיעות בסביבות שאינן מימיות (איורים 4,5)?

את התשובה לשאלות כאלה ניתן לעיתים לקבל מניתוח מתמטי של העקרונות האוניברסאליים של זרימת המים, כלומר בעזרת בנייה של מודל מתמטי לתופעת הנפתולים וחקירתו.

לתופעה מסוימת ניתן לפתח מודלים מתמטיים שונים, הנבדלים זה מזה במידת הזיקה של כל אחד מהם אל תכונות התופעה העומדות לחקירה באמצעות אותו מודל מתמטי. מודל מתמטי לתופעת פיתולי הנהרות, אם אכן קיים, יכול לסייע בחיזוי מראש של שינויים בנתיב הזרימה ולאפשר בכך התערבות של האדם למניעת אסונות ולהגדלת התועלת שהנהר מביא כמקור חיים לאדם, לבעלי-חיים ולצמחיה שבסביבתו. [5] סקר מודלים מתמטיים אחדים של תופעת פיתולי נהרות אשר פותחו על ידי פון שלינג [6] וליאופולד ולנגביין [4]. המודל המתמטי לתופעת הנפתולים המתבסס על רעיונותיו של פון שלינג מוצג בפרוטרוט על ידי מובשוביץ-הדר ושמוקלר [8] .

הערת העורכים: המודל המתמטי מובא במלואו בגרסה האנגלית של המאמר

הגישה לבניית מודל מתמטי המוצגת על-ידינו שונה מהגישה של פון שלינג בכך שהיא אינה הסתברותית, אלא מתבססת רק על שיטות של חשבון וריאציות קלסי [4]. המודל הדטרמיניסטי הנבנה בדרך זו אומת על ידי ניסוי ממוחשב ולווה במודל הסתברותי. שני המודלים האלה מאירים מצדדים שונים את ההסברים לתופעה המיוחדת של התפתלות נהרות ונחלים.

מהמודל הדטרמיניסטי מתברר כי לזרימת המים נבחר מסלול אשר אם כי אינו ישר, הוא קרוב ככל שניתן לקו ישר, בהיותו בעל ההתעקמות הממוצעת המינימאלית. מהמודל ההסתברותי נובע כי אם נחשוב על שינויי אפיק הנהר כתהליך אקראי המושפע על ידי מכלול גורמים אקראיים, אזי אפשר לומר כי מסלול ההתפתלות של הנהר הוא לא רק בעל ההתעקמות הממוצעת המינימאלית, אלא הוא גם המסלול הסביר ביותר מבין כל המסלולים שבהם הנהר יכול "לבחור" לו לזרום בהם בתנועתו האקראית.

הערך של כל מודל מתמטי לתופעת טבע מציאותית, נמדד על פי הזיקה בין המסקנות המתקבלות בעזרתו (המסקנות התיאורטיות) לבין התכונות המציאותיות של התופעה. ניסיונות רבים נעשו בנהרות על ידי חוקרי הנפתולים כדי להשוות בין הצורה של נפתולים במציאות לבין צורת "העקום התיאורטי" המתקבל על בסיס המודל המתמטי של תופעת הנפתולים, כתיאור צורתם. תוצאותיהן של השוואות כאלה לגבי שני נהרות מוצגות באיור 8 מצד שמאל. הקו העבה מסמן את צורת הנפתול כפי שנמצאה במדידות של מסלול הנהר במציאות. הקו המרוסק שכמעט צמוד אליו, הוא "עקום תיאורטי" שהתקבל כצורת הנפתולים מהמודל המתמטי של התפתחותם. שתי הדוגמאות המופיעות באיור 8 משמאל תומכות במסקנה כי "העקום התיאורטי", המסומן בקו מרוסק, הוא קירוב טוב לצורת הנפתולים במציאות, המסומנת בקו עבה. באיור 8 מצד ימין משורטט, בקו דק רציף במערכת צירים, גרף הפונקציה המאפיינת את הכיוון של מסלול הנהר. כמו כן מופיעים במערכת הצירים ערכים נקודתיים של פונקציית הכיוון של מסלול הנהר במציאות (המוצג מצד שמאל בקו עבה). ערכים נקודתיים אלה התקבלו באופן ניסיוני על ידי מדידת כיוון הזרימה של הנהר. גם כאן, יש כמעט התלכדות של הממצאים התיאורטיים והאמפיריים.

איור 8 : (מתוך: [4], ע' 64) משמאל: השוואה בין עקומים תיאורטיים לבין צורות של נפתולים במציאות מימין: השוואה בין פונקצית הכיוון של המסלול התיאורטי לבין ערכי פונקצית הכיוון של המסלול במציאות

לסיום: הזמנה לטיולים מתמטיים בנחלים

העובדה המפתיעה והמדהימה היא כי בכל רחבי העולם "מעדיפים" נהרות ונחלים, בתנאים מקומיים שונים, "לסטות מדרך הישר" ולהתפתל כדי להקטין את סחיפת הגדות, והם "יודעים" איך להתפתל כך שבכל זאת העקמומיות הממוצעת תהיה מינימאלית. תוך כדי התפתלותם "שואפים" הנחלים לאזן את מהירות הזרימה לאורך האפיק. לנו לא נותר אלא להתפעל מהחוכמה הנסתרת במעשה הבריאה.

בארצנו היפה והקטנה יש נחלים רבים, גדולים וקטנים ונהר אחד הידוע בכל העולם – הירדן. כולם מתפתלים, כמובן. איזה מהם הוא המתפתל ביותר ואיזה הישר ביותר? האפיון המרכזי של הנחל המתפתל הוא מידת הסטייה של קו זרימתו מקו ישר. אפיון זה נקרא יחס הפיתול. כדי לקבוע אפיון זה יש לדעת את נקודת המוצא של הנחל, את נקודת סיומו והעיקר – את המרחק האווירי ביניהן – D. כמו כן, יש לדעת את האורך – L, של ערוץ הנחל שהוא מידת הדרך אשר עוברים כאשר הולכים לאורך שפת הנחל מתחילתו עד סופו. היחס D/L הוא יחס הפיתול של הנחל והוא מאפיין את הסטייה של קו הזרימה המתפתל של הנחל מקו ישר. נתונים חשובים נוספים קשורים לאיתור הנפתולים בנחל ותיאורם בהתאם לאפיונים שצוינו באיור 2.

המשרד לאיכות הסביבה, הקרן הקיימת לישראל והמנהל לשיקום נחלי ישראל מוציאים לאור עלון בשם "נחלי ארצנו" בו מוצג המצב של הנחלים בישראל, מתוארות עבודות שיקומם ותוכניות הפיתוח של סביבתם. בעלון מס' 3 שיצא בקיץ 98, מופיעה הצעה לבילוי חופשת הקיץ: "כדאי ואפשר לשלב טיולים על גדות הנחלים ובשטחים הפתוחים שבסביבתם" [5]. גם בסתיו ובאביב ואף בימי חורף בהירים, כדאי לצאת לטיולים מתמטיים בנחלים, לראות את הנפתולים ולהכיר את סביבתם. אם בעקבות הטיולים ייאספו ברחבי הארץ נתונים המאפיינים את זרימת הנחלים ברחבי הארץ, נוכל למצוא את הנחל המתפתל ביותר. על ידי עיבוד סטטיסטי של הנתונים, ייתכן חישוב של יחס הפיתול הממוצע של הנחלים בארץ ואת הסטייה הממוצעת ממנו. ועוד ועוד.[6]

מקורות והצעות לקריאה נוספת

[1]. לבנוני י. (1975) . "העתיד הירדן להתיישר?" טבע וארץ, אפריל 1975.

[2]. שטנר י. (1970). גיאומורפולוגיה, העיצוב החיצון של התבלוט. הוצאת קריית ספר בע"מ, ירושלים. הפרק: "עמק הנהר ועיצובו". עמ' 97-113.

[3]. Langbein, W.B., Leopold L.B.(1966). River Meanders – Theory of Minimum Variance. U.S. Geological Survey Professional Paper 422-H, pp.1-15

[4]. Leopold, L.B., Langbein W.B.(1966). River Meanders. Scientific American, 214, pp. 60-70

[5]. Callander, R.A., (1978). River Meandering. Annual Reviews Fluid Mechanics 10, pp.129-158

[6]. Von Schelling H. (1951). Most Frequent Particle Paths in a Plane. Transactions American Geophysical Union 32, pp. 222-226

[7]. טיחומירוב ו.מ. (2000). סיפורים על מקסימום ומינימום. סדרת המדף המתמטי של המרכז הארצי "קשר חם", הטכניון, אוקטובר 2000

[8]. מובשוביץ-הדר, נ., שמוקלר, א. (2000). על פיתולי נהרות והמודל המתמטי של תופעה זו. על"ה 25,עמ' 62-76

הערה: הגרסה המלאה של מאמר זה פורסמה לראשונה בכתב עת על"ה, הבטאון של המורים למתמטיקה בבתי ספר העל יסודיים בישראל בשנת 2000, כרך 25 עמודים 62-76.