חורים שחורים – על פי הפיזיקה הניוטונית והיחסותית
חורים שחורים עלו על במת מדעי הטבע – בחזקת פרדיגמה אסטרופיזיקלית – כאשר המדען ואיש הכמורה הבריטי ג'ון מיצ'ל, ובאופן בלתי תלוי גם המתמטיקאי והאסטרונום הצרפתי פייר סימון דה לפלס, הניחו עוד בשלהי המאה ה-18 כי אין אפשרות לצפות בכוכב שהיחס בין המסה שלו לרדיוסו גדול דיו, מאחר שמהירות ההימלטות מכוכב כזה גדולה ממהירות האור. השערה זאת הייתה מבוססת כולה על המכניקה הניוטונית.
זמן קצר אחרי פרסום תורת היחסות של איינשטיין הצליח הפיזיקאי היהודי-גרמני קארל שוורצשילד להסיק מתוך משוואות תורת היחסות קיומם של גופים שמימיים צפופים במידה כזאת, שכל גוף חומרי המצוי בסביבתם יוכל ליפול לתוכם, אולם דבר לא יוכל לצאת מהם. הפיזיקאי האמריקאי ג'ון ווילר (Wheeler) כינה אותם לראשונה "חורים שחורים". שוורצשילד חזה את קיומה של "ספרת הקסם" סביב כל חור שחור כזה, שבה כוח הכבידה כה גדול, עד כי דבר לא יכול לעזוב אותה. ספרה זאת קרויה "אופק האירועים" (Event Horizon), וזאת בגלל ששום מידע על המתרחש בתוכה לא יכול להגיע לצופה חיצוני. הרדיוס של אופק האירועים קרוי "רדיוס שוורצשילד". ניתן להגדיר את אופק האירועים כפני השטח של חור שחור.
תורת היחסות הכללית חידדה את ההגדרה של חור שחור – לא עוד מסה שאור לא יכול לעזוב אותה למרחקים גדולים, אלא אזור בחלל המבודד מסביבתו באמצעות כוח הכבידה במובן ששום אות, אור, חלקיקים או כל דבר פיזיקלי אחר, אינם יכולים למסור מידע על טיבו ומצבו לאזורים שמחוצה לו. כפי שהדגישו רופיני ווילר, מושג מפתח כאן הוא מידע. אולם דבר מהנאמר עד כה לא היה בו כדי להכין את החוקרים לקשרים המפתיעים שהתגלו בשלושת העשורים האחרונים בין עולם הכבידה וחורים שחורים לבין תחומי התרמודינמיקה והמידע. אף כי בלשון ציורית אפשר לומר כי חור שחור הוא בחזקת גרגיר על מארג החלל-זמן, אשר תנועתו כשל כל חלקיק, הפיזיקה דורשת שישות כזאת תהיה מחוננת במאפיינים תרמודינמיים, כגון אנטרופיה וטמפרטורה, וכן בתכונות קוונטיות כגון היכולת, שנתגלתה לראשונה ע"י הוקינג, לפלוט קרינה באופן ספונטני, בניגוד מוחלט להגדרה של חור שחור עד אז, כישות שאינה יכולה לפלוט קרינה או חומר מחוץ לה.
קרינת הוקינג יצרה בעיה שהטרידה את החוקרים בשני העשורים האחרונים. ניתן לדמיין שהחומר אשר קורס ויוצר את החור השחור יימצא במצב קוונטי "טהור" (הערת העורכים: ראה את ההגדרה של מצבים קוונטיים באתר http://www.answers.com/topic/quantum-state).
אחרי היווצרותו, פולט החור השחור קרינה באופן ספונטני, ובהתאם לחישובים קרינה זאת היא במצב תרמלי, כלומר במצב קוונטי מעורב. כאשר הקרינה מכלה את כל מסת החור השחור, שמתאייד למעשה, אנו נשארים עם קרינה במצב קוונטי מעורב בלבד. החור השחור, אם כן, זירז את ההיפוך של מצב טהור למצב מעורב, בניגוד לעקרון של אבולוציה קוונטית אוניטרית. מעורב – משמעו אנטרופי. אפשר אם כן לראות את מה שקרה כאיבוד של מידע. זהו אם כן עוקצו של פרדוקס המידע, אשר אין הסכמה גורפת על ההסבר לו, אולם היה בו כדי להמריץ את החשיבה בתורת הכבידה בשני המחנות, פיזיקת החלקיקים וכבידה.
חור שחור בקליפת אגוז
אחת התכונות הבולטות ביותר בתופעת החורים השחורים, המבדילה אותם מפרדיגמות אסטרופיזיקליות אחרות, נעוצה באי תלותם בקנה מידה. כוכב לכת הוא גוף שמימי שמסתו נעה בין שבריר של מסת כדור הארץ לבין כמה מסות של כוכב הלכת צדק. כוכב זוהר באור משלו רק כאשר המסה שלו היא בין 0.07 לבין 100 מסות שמש, בקירוב. אף כי חוק הכבידה של ניוטון אינו תלוי בקנה מידה (הקבוע היחיד המעורב בו הוא קבוע הכבידה העולמי, G ), כוכבי לכת וכוכבים קיימים בטווחי מסה מוגדרים, וזאת בגלל קנה המידה של החומר שממנו הם נוצרים. בניגוד לזה, במובן הקלאסי, חור שחור יכול להיות בעל מסה כלשהי, ומאפייניו זהים עבור כל מסה, דבר הנובע מחוקי הכבידה היחסותית. משוואות השדה של איינשטיין (1915), בדיוק כמו הניסוחים הישנים יותר של ניוטון, אינן כוללות קנה מידה מועדף. בנוסף לכך החור השחור הנו ישות נבדלת לחלוטין מן החומר שהיה הבסיס לבריאתו, ועל כן אינו יורש ממנו קנה מידה מועדף.
עם זאת, אפקטים קוונטיים משנים במקצת טיעונים אלה. המסה של חור שחור אינה יכולה להיות קטנה יותר ממסת פלנק (~2 x 10-5 g), שכן אילו היה זה כך, החור היה צריך להיות קטן יותר מאורך קומפטון של עצמו והיה נעדר את הסממן של חור שחור, אופק האירועים. האופק הוא הגבול במרחב-זמן בין העולם החיצוני לבין האזור הפנימי הלא נגיש על ידי צופה חיצוני. חלקיקים ואור יכולים לחצות את האופק רק בכיוון אחד - פנימה. כאשר האופק נצפה בנקודת זמן נתונה (או יותר נכון על משטח דמוי-מרחב), יש לו טופולוגיה של פני כדור רגיל, כלומר הוא סגור על ידי משטח דו-ממדי מחובר. אם כי אין קנה מידה מועדף לחור שחור, יש לכל חור גודל מסוים כדוגמת הרדיוס שלו rg, וזאת בתנאי שהוא בעל צורה כדורית אמיתית. אי-קיומו של קנה-מידה מועדף בפיזיקת החורים השחורים מחייב את rg להיות מתכונתי למסת החור m, ואת צפיפותו הממוצעת r להיות מתכונתית ל- m-2 .
מקובל לחשוב על חורים שחורים כקטנים מאוד בממדיהם וצפופים ביותר. אולם זה לא הכרחי. לדוגמה, במרכז שביל החלב שלנו התגלה חור שחור מסדר גודל של 20 מיליון קילומטר, שצפיפותו הממוצעת קרובה לצפיפות של מים. כמובן, חורים שחורים הנוצרים עקב קריסת כוכב, או אלה ששרדו את מעללי היקום המוקדם, קטנים וצפופים הרבה יותר. חורים שחורים אינם יכולים להתכווץ, שהרי הם יכולים רק לספוח חומר וקרינה, אך לא לאבדם. פנרוז ופלויד, קריסטודולו והוקינג הראו באופן בלתי תלוי שהמסקנה לעיל נכונה על פי הפיזיקה הקלאסית בתנאי שנקבע באופן מדויק: כמעט בכל המרה של חור שחור, שטח האופק שלו יגדל, ובשום נסיבות הוא אינו יכול לקטון. הכלל ה"קלאסי" הוא קריטי. הוקינג עצמו הדגים לא מזמן את מגבלותיו של כלל "שטח האופק גדל" כאשר מעורבים תהליכים קוונטיים. אולם הכלל, אף כי הוא קלאסי במהותו, הפך לגורלי להתפתחות הפיזיקה של חורים שחורים, שלא לדבר על יישומים אסטרופיזיקליים.
חורים שחורים חסרים לא רק קנה מידה מועדף, אלא גם את המגוון הרחב של התכונות האינדיבידואליות האופייניות לכוכבים ולכוכבי לכת. ההיבט הנצפה של כוכב, ובכלל זה הספקטרום – טביעת האצבע של כוכב – תלוי במידה רבה בהרכבו הכימי. כוכבים העשירים ביסודות כבדים מהליום, הינם בעלי ספקטרה מורכבים יותר בהשוואה לאלו של כוכבים העניים ביסודות אלה. במציאות יש מגוון רחב של הרכבים כימיים של כוכבים ובהתאם לכך גם מגוון רחב של סוגים ספקטרליים. להבדיל, כל הפתרונות המתארים חורים שחורים נייחים, מסתובבים וטעוני חשמל – הן בתורת היחסות הכללית והן בתיאוריות כבידה אחרות, יוצרים משפחה אחת בעלת שלושה פרמטרים – פתרון קר-ניומן (KN ) של חור שחור. עקב זאת, מניחים ככלל שכל התכונות הנצפות של חורים שחורים תלויות רק במסה m, בתנע הזוויתי j ובמטען החשמלי q (ראו איור 1). רק שלושת הפרמטרים האלה ודומיהם (כמו המונופול המגנטי, שטרם נצפה בטבע) הם הפרמטרים הנצפים של חור שחור. ר' רופיני וג' וילר ((Wheeler, שלראשונה ציינו את ה"קמצנות" בתיאור של חור שחור, טבעו גם את האמירה: "לחור שחור אין שיער"(Black holes have no hair). בתורת הכבידה התקנית חור שחור נייח, מן הסוג הכללי ביותר, מתואר כלפי חוץ על ידי הפתרון KN, עם m , q ו-j כפרמטרים יחידים.
זה עלול להיראות פרדוקסלי - לאפיין את האופק כחוסם כל גישה למידע פנימי על חור שחור, ובו בעת להניח, נאמר, שהמטען החשמלי של חור שחור הוא נצפה. למעשה אין כאן ניגוד. המטען של החור השחור הוא המטען של הגוף שקרס על מנת ליצור אותו. תמיד ניתן לקבוע אותו בעזרת חוק גאוס, חוק שימור המטען, כי ערך המטען נשמר. דין דומה קיים ביחס למסה ולתנע הזוויתי. שניהם ניתנים לקביעה מתוך התכונות המיוחדות של גיאומטריית המרחב-זמן מחוץ לחור.
איור 1. הגדלים הנצפים הראשיים של חור שחור – הכבידה ושדות אלקטרומגנטיים, קרינת הוקינג (החיצים) – וכן המשניים כגון התצורה של אופק האירועים, נקבעים באופן בלעדי על ידי המסה m, המטען החשמלי q והתנע הזוויתי j (האחרון קובע את הפחיסות של האופק). |
תרמודינמיקה של חורים שחורים
כיצד יכול חור שחור, כעין "פגם" ברקמת חלל-זמן, להיות בעל תכונות תרמודינמיות? התרמודינמיקה יכולה לתאר מערכת בצורה מוצלחת, בתנאי שהתיאור נעשה באמצעות מספר פרמטרים בודדים: אנרגיה, נפח, מגנוט וכדומה, לפחות בקנה מידה מספיק גדול. אחרת - דרושה גישה מורכבת יותר של מכניקה סטטיסטית ותורה קינטית. חור שחור מוגדר באופן מלא, ככל שזה נוגע לצופה מבחוץ, על ידי שלושה פרמטרים בלבד: מסה m, מטען q ותנע זוויתי j. אין כל צורך לתאר בפירוט את החומר שלקח חלק ביצירתו של חור שחור. נראה אם כן שהתרמודינמיקה היא פרדיגמה מתאימה עבור חורים שחורים. מה הם המשתנים שלה? המסה של חור שחור, בתפקיד של אנרגיה, הינה פרמטר תרמודינמי טיפוסי. מערכות תרמודינמיות טעונות חשמל ומסתובבות – גם הן ידועות.q ו-j אם כן מקובלים. עם זאת, להשלמת הסדרה של פרמטרים תרמודינמיים מדידים של חור שחור חסרה לנו האנטרופיה. ברור עם זאת שהאנטרופיה של חור שחור אינה זהה בהכרח עם האנטרופיה של החומר שקרס לתוכו - כי האחרונה הופכת לבלתי נראית במהלך הקריסה.
אין שום אפשרות לדעת בוודאות מה נמצא בתוך חור שחור. שום מידע מפורט אינו יכול לחצות את אופק האירועים ולהימלט אל העולם החיצון. אבל פיסת חומר שנעלמה לעד בחור שחור, משאירה מאחוריה בכל זאת עקבות כלשהם. האנרגיה שלה (לפי משוואת איינשטיין E=mc2) משתקפת לעד בהגדלת המסה של החור השחור. אם החומר נלכד בעת שהקיף את החור, התנע הזוויתי המשויך לתנועתו זו מתוסף לתנע הזוויתי של החור השחור. המסה של חור שחור וגם התנע הזוויתי שלו ניתנים למדידה מתוך השפעותיהם על המרחב-זמן שמסביב לחור. בדרך זו מקיימים חורים שחורים את חוקי השימור של המסה ושל התנע הזוויתי. אבל דומה שהם מפירים חוק יסודי אחר, החוק השני של התרמודינמיקה.
החוק השני של התרמודינמיקה מתמצת את אי-הפיכותם של מרבית תהליכי הטבע. כוס תה נופלת משולחן ומתנפצת, אבל איש לא ראה מעולם רסיסים קופצים מעצמם מעל הרצפה ומתאחים לכוס תה. החוק השני של התרמודינמיקה אוסר על תהליכים הפוכים כאלה. הוא קובע כי האנטרופיה של מערכת פיזיקלית מבודדת אינה יכולה לקטון לעולם; במקרה הטוב, האנטרופיה נשארת קבועה, ולרוב היא גדלה. חוק זה ניצב במרכז הכימיה הפיזיקלית וההנדסה; אפשר לומר שמכל חוקי הפיזיקה, השפעתו על העולם שמחוצה לה היא הגדולה ביותר.
כפי שציין לראשונה וילר (Wheeler), כאשר חומר נעלם בתוך חור שחור, האנטרופיה שלו אובדת לנצח, ודומה כאילו החוק השני הופר או הפך לבלתי רלוונטי. רמז ראשון לפתרון החידה הזאת נמצא ב-1970, כאשר ד' כריסטודולו (שהיה אז תלמיד מחקר של וילר), ר' פנרוז עם ר' פלויד, והוקינג הראו בנפרד כי בתהליכים שונים, כגון התמזגות חורים שחורים, השטח הכולל של אופקי האירועים אינו פוחת לעולם. היום תוצאה זאת מוכרת כמשפט השטח של הוקינג. האנלוגיה בין כלל זה לבין נטייתה של האנטרופיה לגדול הניע אותי להציע ב-1972 את הרעיון שלחור שחור יש אנטרופיה, שערכה עומד ביחס ישר לשטח הפנים של אופק האירועים שלו:
SBH a kB ABH
כאשר SBH היא האנטרופיה של חור שחור, ABH - השטח של אופק האירועים, kB – הקבוע של בולצמן.
ניחשתי כי כאשר חומר נופל לתוך חור שחור, גידול האנטרופיה של החור השחור מפצה – אם לא יותר מזה – על האנטרופיה ה"אבודה" של החומר. ביתר הכללה, סכום האנטרופיות של החור השחור והאנטרופיה הרגילה מחוץ לחור השחור לעולם אינו יכול לקטון. זהו החוק השני המוכלל (GSL – Generalized Second Law).
איור 2 ממחיש את הכלל של GSL .
איור 2 . האנטרופיה של החור השחור - SBH חייבת לגדול לכל הפחות בכמות השווה לאנטרופיה של כוס תה הנשפך לתוך החור השחור. |
החוק השני המוכלל עמד במספר רב של מבדקים מחמירים, תיאורטיים לחלוטין. כשכוכב קורס ויוצר חור שחור, האנטרופיה של החור השחור עולה בהרבה על האנטרופיה של הכוכב.
קרינת הוקינג
ב-1974 הוכיח הוקינג כי חור שחור פולט באופן ספונטני קרינה, הידועה כיום בשם קרינת הוקינג, מכוחו של תהליך קוואנטי. משפט השטח של הוקינג אינו מסוגל להתמודד עם התופעה הזאת (מכיוון שהחור השחור פולט קרינה, המסה שלו קטנה, ולפיכך קטן גם שטח האופק שלו), בעוד שהחוק השני המוכלל מטפל בה היטב: האנטרופיה של הקרינה הנפלטת מפצה, ואף יותר מזה, על פחיתת האנטרופיה של החור השחור. ב-1986 השתמש ר' סורקין מאוניברסיטת סירקיוז בתפקידו של האופק כמחסום שמונע בעד מידע בתוך החור השחור מלהשפיע על המתרחש מחוץ לו, כדי להראות ש- GSL (או משהו דומה לו מאוד) חייב להיות תקף בכל תהליך שעשוי להתחולל בחורים שחורים, יהיה אשר יהיה. טיעונו המעמיק מבהיר כי האנטרופיה הנכנסת לחוק השני המוכלל היא זו שחושבה לרמה X – רמת המבנה היסודי של החומר (ראו הפרק הבא: אנטרופיה תרמודינמית ואנטרופיית מידע), או עד לכל רמה שהיא .
תהליך הקרינה שתיאר הוקינג אפשר לו לקבוע את קבוע היחס בין האנטרופיה של חור שחור לבין שטח האופק: האנטרופיה של חור שחור היא בדיוק רבע משטחו של אופק האירועים, הנמדד ביחידות של שטח פלנק. (אורך פלנק ,33 - 10 ס"מ בערך, הוא קנה-המידה היסודי לאורך בתורת הכבידה הקוואנטית.) אפילו במונחים תרמודינמיים, זוהי כמות אדירה של אנטרופיה. האנטרופיה של חור שחור שקוטרו סנטימטר אחד היא 1066 סיביות בערך, והיא שווה בקירוב לאנטרופיה התרמודינמית של קוביית מים שאורך פאתה 10 מיליארד ק"מ.
אנטרופיה תרמודינמית ואנטרופיית מידע
נמצא כי החוק השני של התרמודינמיקה חל על האנטרופיה של חורים שחורים כמו על אחיותיהן המוכרות יותר, האנטרופיה של חומר ושל אנרגיה. אולם מהחוק השני המוכלל, שקיבל בינתיים חיזוק יתר על ידי מגוון של ניסויים מחשבתיים, נובע שלא ניתן להכיל באופן פיזי אנטרופיה- גדולה, ככל שתהיה, באזור בעל גבולות נתונים, או בתוך מסה בעלת גודל נתון. מסקנות אלה ביחס לגבולות האנטרופיה ההולוגרפית (ראו בפרק הבא: העולם כהולוגרמה) ואוניברסלית סותרות, לכאורה, את מה שאנו מצפים לו מניסיוננו היומיומי (זיכרונות RAM הולכים וקטנים בממדיהם ככל שהקיבולת שלהם גדלה), כמו גם את התוצאות המובנות כל כך של תורת השדה הקוונטי, אחד מעמודי התווך של הפיזיקה התיאורטית המודרנית. אם כך הדבר, פירושו שאנו עומדים על סף מהפכה קונספטואלית בפיזיקה.
אנטרופיה תרמודינמית מאפיינת את מידת האי-סדר במערכת פיזיקלית. ב-1877 אפיין אותה הפיזיקאי האוסטרי לודוויג בולצמן ביתר דיוק, במונחים של מספר המצבים המיקרוסקופיים הנבדלים שבהם יכולים להימצא החלקיקים היוצרים גוש חומר, בלא שתשתנה צורתו המקרוסקופית של אותו גוש חומר. אם ניקח לדוגמה את האוויר בחדר מסוים, אפשר למנות את כל האפשרויות שבהן יכולות מולקולות הגז השונות להיות פזורות בחדר, ואת כל האופנים שבהם יכולות המולקולות האלה לנוע מבלי שהתיאור המקרוסקופי של המערכת (כגון לחץ וטמפרטורה) ישתנה. האנטרופיה של המערכת המקרוסקופית עומדת ביחס ישר ללוגריתם של מספר המצבים המיקרוסקופיים הללו.
ב-1948 פרסם המתמטיקאי היישומי האמריקאי קלוד א' שנון (Shannon) מאמר היסטורי, שבו ייסד את התיאוריה הפורמלית של המידע. כאשר חיפש שנון דרך לכימות המידע המוכל במסר כלשהו, הוא הגיע לנוסחה הזהה בצורתה לנוסחת בולצמן. אמת המידה לתכולת מידע אינה אלא אנטרופיה! האנטרופיה של מסר לפי שנון היא מספר הסיביות (ספרות בינריות) הדרושות כדי לקודד את המסר. אנטרופיית שנון אינה מלמדת אותנו מאומה על ערכו של המידע, שהוא בעיקרו תלוי בהקשר. עם זאת, היא שימושית להפליא במדע ובטכנולוגיה כאמת-מידה אובייקטיבית לכמות המידע. לדוגמה, תכנונו של כל אמצעי תקשורת מודרני – מטלפון נייד ועד נגן תקליטורים – מסתמך על אנטרופיית שנון.
מבחינה מושגית, האנטרופיה התרמודינמית ואנטרופיית שנון שקולות זו לזו: מספר דרכי הסידור האפשריות שמונה אנטרופיית בולצמן משקף את הכמות של מידע שנון שיידרש כדי לבצע סידור מסוים כלשהו. אף-על-פי-כן, יש שני הבדלים בולטים בין שתי האנטרופיות. ראשית, האנטרופיה התרמודינמית, בשימושו של כימאי או של מהנדס קירור, מבוטאת ביחידות של אנרגיה חלקי טמפרטורה, בעוד שאנטרופיית שנון, כפי שמשתמש בה מהנדס תקשורת, מבוטאת בסיביות, שהן חסרות-ממדים. ההבדל הזה הוא רק עניין של מוסכמה.
אבל גם כשמבטאים את שתי האנטרופיות באותן יחידות, יש שוני עצום בגודל בין הערכים האופייניים שלהן. אם ניקח לדוגמה שבב סיליקון שמכיל ג'יגא-בית של נתונים, אנטרופיית שנון שלו היא בערך 1010 סיביות. המספר הזה קטן מאוד לעומת האנטרופיה התרמודינמית של השבב, שהיא 1023 סיביות, בערך, בטמפרטורת החדר. ההבדל הזה נובע מכך ששתי האנטרופיות חושבו לדרגות חופש שונות. דרגת חופש היא כל ישות כמותית שיכולה להשתנות, כגון קואורדינטה שמציינת את מיקומו של חלקיק, או אחד הרכיבים של מהירותו. אנטרופיית שנון של השבב מתייחסת רק למצבו הכללי של כל אחד מהטרנזיסטורים הזעירים הצרובים בגביש הצורן. הטרנזיסטור יכול להיות דולק או כבוי, 0 או 1 – יש לו דרגת חופש בינרית אחת. האנטרופיה התרמודינמית, לעומת זאת, תלויה במצביהם של כל מיליארדי האטומים (והאלקטרונים המשוטטים סביבם) שמהם עשוי כל טרנזיסטור. המזעור ההולך ונמשך מקרב את היום שבו יאחסן כל אטום סיבית אחת של מידע לשימוש האדם, ולכן עתידה אנטרופיית שנון של השבבים המתקדמים ביותר להתקרב בהדרגה לסדר-הגודל של האנטרופיה התרמודינמית של החומר שממנו עשויים השבבים. אם שתי האנטרופיות מחושבות לאותן דרגות חופש, הן שוות זו לזו.
מה הן דרגות החופש המוחלטות? האטומים, אחרי ככלות הכול, עשויים מאלקטרונים ומגרעינים, הגרעינים הם גושים של פרוטונים ונויטרונים, ואלה מצדם עשויים מקוורקים. פיזיקאים רבים רואים כיום את האלקטרונים והקוורקים כמצבי עירור של מיתרי-על, המוגדרים בפיהם כישויות היסודיות ביותר. אבל התהפוכות המרובות שפקדו את הפיזיקה במשך מאה שנים של תגליות מתרות בנו שלא להיות דוגמטיים. ייתכן שרמות המבנה של היקום שלנו רבות מכפי שרואה הפיזיקה של היום בחלומותיה.
אי-אפשר לחשב את קיבולת המידע האולטימטיבית של גוש חומר, או את האנטרופיה התרמודינמית האמיתית שלו (כאמור, השתיים שקולות זו לזו), בלא לדעת מה טיבם של מרכיבי החומר הבסיסיים ביותר או מהי רמת המבנה העמוקה ביותר, שאותה אכנה בשם רמה X. (העמימות הזאת אינה בעייתית בחישובים תרמודינמיים מעשיים, כגון אלה שמתייחסים למנועי רכב למשל, משום שאנו רשאים להתעלם מהקווארקים שבתוך האטומים: מצביהם אינם משתנים בתנאים הנוחים יחסית שבתוך המנוע.) לאור התקדמותו המסחררת של המזעור, אפשר להשתעשע במחשבה על היום שבו ישמשו קווארקים לאחסון מידע – אולי סיבית אחת לכל אחד מהם. כמה מידע יימצא אפוא בגוש שגודלו סמ"ק אחד? וכמה מידע יימצא בו אם נצליח לרתום למשימה זו מיתרי-על, או אף רמות עמוקות יותר, שטרם נתגלו לנו בחלומותינו? למרבה ההפתעה, ההתפתחויות שחלו בפיזיקה של הכבידה בשלושים השנים האחרונות מספקות אי-אלה תשובות ברורות לשאלות הללו, החמקמקות לכאורה.
העולם כהולוגרמה
החוק השני המוכלל מאפשר לנו להציב גבולות לקיבולת המידע של כל מערכת פיזיקלית מבודדת, והגבולות האלה מתייחסים לכל רמות המבנה עד לרמה X. ב-1980 התחלתי לחקור את הראשון מבין הגבולות האלה, הקרוי גבול האנטרופיה האוניברסלי, המגביל את כמות האנטרופיה שיכולה לשאת מסה מסוימת בעלת גודל מסוים.
ב-1995 הציג ליאונרד סוסקינד מאוניברסיטת סטנפורד רעיון קרוב לזה, שנקרא הגבול ההולוגרפי. על פיו כמות האנטרופיה שיכולה להימצא בחומר ובאנרגיה התופסים נפח מסוים של מרחב הנה מוגבלת. בעיוניו בגבול ההולוגרפי התייחס סוסקינד למסה מבודדת בעלת צורה כדורית בקירוב, שאינה חור שחור בעצמה, ואפשר להקיפה במשטח סגור ששטח המעטפת שלו הוא A. אם המסה יכולה לקרוס לחור שחור, יהיה שטח האופק של החור בסופו של דבר קטן מאשר A. לכן, האנטרופיה של החור השחור קטנה מאשר A/4 (שוב, השטח נמדד ביחידות שטחו של פלנק). גרסת סוסקינד של הגבול ההולוגרפי מתוארת באיור 3. לפי GSL, האנטרופיה של המערכת כולה אינה יכולה לקטון, ולפיכך לא ייתכן כי האנטרופיה המקורית של המסה הייתה גדולה מאשר A/4. מכאן נובע שהאנטרופיה של מערכת פיזיקלית מבודדת ששטח גבולה הוא A היא בהכרח קטנה מאשר A/4. ומה אם המסה לא תקרוס באופן ספונטני? בשנת 2000 הוכחתי כי חור שחור זעיר יכול לשמש להפיכת המערכת לחור שחור שאינו שונה בהרבה מזה שבטיעונו של סוסקינד. מכאן שהגבול אינו תלוי בהרכב המערכת, או בטיבה של הרמה X. הוא תלוי אך ורק בחוק השני המוכלל.
כעת, בעזרת הגבול ההולוגרפי, אפשר לענות על אחת מהשאלות החמקמקות ההן בדבר גבולותיה העליונים של קיבולת המידע. התקן אחסון בעל נפח של סמ"ק אחד יכול עקרונית להכיל עד 1066 סיביות – כמות שקשה להשיגה בשכל. היקום הנראה מכיל לפחות 10100 סיביות של אנטרופיה, שאותה אפשר עקרונית לצופף בתוך כדור שקוטרו פחות מעשירית שנת-אור. עם זאת, אומדן האנטרופיה של היקום הוא עניין קשה, ואין לפסול על הסף את האפשרות שמדובר במספרים גדולים הרבה יותר, שיחייבו כדור גדול כמעט כמו היקום עצמו.
אבל מה שמדהים באמת בגבול ההולוגרפי הוא דווקא היבט אחר שלו: האנטרופיה המרבית האפשרית תלויה בשטח המעטפת המגבילה, ולא בנפח. תארו לעצמכם שאנו אוספים שבבי זיכרון של מחשב בערימה גדולה. מספר הטרנזיסטורים – קיבולת הנתונים הכללית – גדל ביחס ישר לנפח הערימה, וכך גם האנטרופיה התרמודינמית הכוללת של כל השבבים. אך קיבולת המידע המרבית התיאורטית של הנפח שתופסת הערימה גדלה רק ביחס ישר לשטח הפנים של הערימה. הואיל והנפח גדל בשיעור מהיר יותר מאשר שטח הפנים, יגיע השלב שבו תחצה האנטרופיה של כל השבבים את הגבול ההולוגרפי. בנקודה זו, לכאורה, חייב להתמוטט אחד מהשניים: החוק השני המוכלל, או תפיסת השכל הישר את האנטרופיה. אך מה שלמעשה מתמוטט הוא הערימה עצמה: היא תקרוס תחת הכבידה שלה עצמה ותיצור חור שחור, עוד לפני שנגיע לנקודה הבעייתית. מכאן ואילך, כל שבב זיכרון נוסף יגדיל את המסה ואת שטח המעטפת של החור השחור, בדרך שתוסיף לעלות בקנה אחד עם החוק השני המוכלל.
|
איור 3. המחשת הגבול ההולוגרפי על פי גרסת סוסקינד. החסם העליון על קיבולת המידע ביחידות nits של התקן לאחסון מידע בעל מבנה רצוני הוא רבע משטחה של מעטפת כדורית הנמדדת ביחידות אורך פלנק בריבוע.
| ( nits - natural units of information)
לתוצאה המפתיעה הזאת – תלותה של קיבולת המידע בשטח המעטפת – יש הסבר טבעי, אם יש אמת בעיקרון ההולוגרפי שהציע ב-1993 הפיזיקאי ההולנדי חתן פרס נובל ג'ררד ט'הוֹפט מאוניברסיטת אוטרכט בהולנד, ופיתח הלאה סוסקינד. בעולם היומיום, הולוגרמה היא תצלום מסוג מיוחד, שיוצר תמונה תלת-ממדית מלאה כשמאירים אותו באופן המתאים. כל המידע המתאר את הנוף התלת-ממדי של התמונה מקודד בתבניות של אתרים כהים ובהירים על-פני פיסת סרט דו-ממדית, ושם הוא ממתין עד שיבואו ויפיחו בו חיים חדשים. העיקרון ההולוגרפי טוען כי אפשר להחיל אנלוגיה של הקסם החזותי הזה על התיאור הפיזיקלי המלא של כל מערכת שתופסת מקום תלת-ממדי: לפי העיקרון הזה, תיאוריה פיזיקלית שהוגדרה רק על-פני גבולו הדו-ממדי של האזור, יכולה לתאר בשלמות את הפיזיקה התלת-ממדית. אם אומנם אפשר לתאר במלואה מערכת תלת-ממדית באמצעות תיאוריה פיזיקלית שפועלת אך ורק בגבולה הדו-ממדי, יש מקום לצפות שתכולת המידע של המערכת לא תעלה על זו של התיאור על פני השטח.
השקילות ההולוגרפית של היקום
נשאלת השאלה, האם אפשר להחיל את העיקרון ההולוגרפי על היקום בכללותו. היקום הממשי הוא מערכת ארבעה-ממדית: יש לו נפח, והוא משתרע בזמן. אם הפיזיקה של היקום שלנו היא הולוגרפית, צריכה להיות קבוצה חלופית של חוקים פיזיקליים שפועלים היכן שהוא בגבול תלת-ממדי של המרחב-זמן, והיא תהיה שקולה לפיזיקה הארבעה-ממדית הידועה לנו. איננו מכירים עדיין שום תיאוריה תלת-ממדית שפועלת בדרך זו. ובעצם, איזו מעטפת צריכה לשמש אותנו כגבול היקום? אחד הצעדים לקראת מימושם של הרעיונות האלה הוא עיון במודלים פשוטים יותר מאשר היקום הממשי שלנו.
מחלקה של דוגמאות מוחשיות לפעולת העיקרון ההולוגרפי מצויה במה שקרוי מרחבי-זמן אנטי-דה סיטר. מרחב-זמן דה סיטר המקורי הוא מודל של היקום שהציג לראשונה ב-1917 האסטרונום ההולנדי וילם דה סיטר כפתרון למשוואות איינשטיין, ונכלל בו כוח הדחייה שנודע בשם הקבוע הקוסמולוגי. מרחב-זמן דה סיטר הוא ריק, מתפשט בקצב מואץ והנו בעל דרגה גבוהה של סימטריה. אסטרונומים שחקרו התפוצצויות סופר-נובה רחוקות הגיעו ב-1997 לכלל מסקנה שיקומנו שלנו מתפשט כיום באורח מואץ, ויש לשער שהוא ידמה יותר ויותר למרחב-זמן דה סיטר במרוצת הזמן. ובכן, אם נחליף את הדחייה הנכללת במשוואות איינשטיין למשיכה, פתרונו של דה סיטר יתאר מרחב-זמן אנטי-דה סיטר, שגם בו יש דרגה זהה של סימטריה. חשוב מזה, מבחינתו של העיקרון ההולוגרפי, יש לו למרחב-זמן דה סיטר גבול, הממוקם "באינסוף" ודומה מאוד למרחב-זמן היומיומי שלנו.
בעזרת מרחב-זמן אנטי-דה סיטר, התקינו התיאורטיקאים דוגמה מוחשית לפעולתו של העיקרון ההולוגרפי: יקום שמתואר על ידי תיאוריית מיתרי-על ואשר פועלת במרחב-זמן אנטי-דה סיטר יהיה שקול לחלוטין לתיאוריית שדה קוואנטית שתפעל בגבולו של המרחב-זמן הזה. כלומר, תיאוריית מיתרי-על במרחב-זמן אנטי-דה סיטר מצוירת במלוא תפארתה על גבולו של היקום הזה. חואן מלדסנה, בעת שהיה באוניברסיטת הרווארד, הציג לראשונה קשר זה ב-1997 עבור המקרה החמישה-ממדי של יקום אנטי-דה סיטר, ואחר-כך אימתו אותו, בהתייחס למצבים רבים ושונים, אדוארד ויטן מהמכון למחקר מתקדם בפרינסטון וסטיבן גבסר, איגור קלבנוב ואלכסנדר פוליאקוב מאוניברסיטת פרינסטון. כיום ידועות דוגמאות להתאמה הולוגרפית כזאת בהתייחס למרחבי-זמן בממדים רבים ושונים.
מן התוצאה הזאת משתמעת שקילות בין שתי תיאוריות שונות מאוד זו מזו למראית-עין, שאפילו אינן פועלות במרחבים בעלי אותם ממדים. יצורים שחיים באחד היקומים הללו לא יוכלו לומר אם הם מתגוררים ביקום חמישה-ממדי שמתארת תיאוריית מיתרים, או ביקום ארבעה-ממדי שמתארת תיאוריית שדה קוואנטית שחלקיקיה נקודתיים. (כמובן, ייתכן שמבנה מוחותיהם יעניק להם תחושת "שכל ישר" חזקה מאוד בזכותו של אחד משני התיאורים האלה, כדרך שמוחנו שלנו יוצר תפיסה מולדת של יקומנו כישות בעלת שלושה ממדים מרחביים.
ישנם מקרים בהם השקילות ההולוגרפית מאפשרת לנו להחליף חישובים קשים במרחב-זמן הגבולי, הארבעה-ממדי – למשל, בדבר התנהגותם של קווארקים וגלואונים – בחישובים קלים יותר במרחב-זמן אנטי-דה סיטר החמישה-ממדי והסימטרי מאוד. וההתאמה תפעל גם בכיוון ההפוך. ויטן הראה כי חור שחור במרחב-זמן אנטי-דה סיטר מתאים לקרינה חמה בפיזיקה החלופית שפועלת במרחב-זמן הגבולי. האנטרופיה של החור השחור – מושג אפוף מסתורין – שווה לאנטרופיה של הקרינה, שהיא מושג שגרתי יותר.
התפשטות היקום
יקום אנטי-דה סיטר חמישה-ממדי, סימטרי מאוד וריק, אינו דומה כלל ליקומנו הקיים בארבעה ממדים, המלא בחומר ובקרינה ועתיר אירועים אלימים. אפילו אם נבחר, כקירוב ליקום הממשי שלנו, ביקום שבו פזורים החומר והקרינה באופן אחיד לגמרי, נקבל לא יקום אנטי-דה סיטר, אלא יקום "פרידמן-רוברטסון-ווקר". רוב הקוסמולוגים מסכימים כיום שיקומנו מתואר היטב על ידי מודל פרידמן-רוברטסון-ווקר כיקום אינסופי, חסר גבולות ומתפשט עד-אין-קץ. האם מתאים יקום כזה לעיקרון ההולוגרפי, או לגבול ההולוגרפי? טיעונו של סוסקינד, המבוסס על קריסה לחור שחור, אינו מועיל כאן. למען האמת, הגבול ההולוגרפי שנגזר מחורים שחורים חייב להתמוטט ביקום אחיד ומתפשט. האנטרופיה באיזור שממולא בחומר ובקרינה באופן אחיד אכן עומדת ביחס ישר לנפחו. איזור גדול די הצורך יפר איפוא את הגבול ההולוגרפי.
ב-1999 הציע רפאל בוסו, שעבד אז בסטנפורד, גבול הולוגרפי מתוקן, ובמרוצת הזמן נמצא שהוא פועל אפילו במקומות שבהם לא יוכלו להתקיים הגבולות שעסקנו בהם עד כה. ניסוחו של בוסו מתחיל במשטח דו-ממדי מתאים כלשהו; אולי הוא סגור כמו מעטפת כדור, ואולי הוא פתוח כמו גיליון נייר. נתאר לעצמנו הבזק חטוף של אור שבוקע בבת-אחת, ובניצב, מכל צדו האחד של המשטח. הדרישה היחידה היא שקרני האור הדמיוניות הללו יהיו קרניים מתכנסות מלכתחילה. אור שנפלט מפני השטח הפנימיים של קליפה כדורית, למשל, עונה על הדרישה הזאת. נבדוק עתה את האנטרופיה של החומר והקרינה שדרכם עוברות הקרניים הדמיוניות הללו, עד לנקודות שבהן הקרניים מתחילות לחצות זו את זו. בוסו ניחש שאנטרופיה זו אינה יכולה לעלות על האנטרופיה שמייצג המשטח ההתחלתי – רבע מפני השטח שלו הנמדדים ביחידת אורך פלנק ברבוע. דרך זו לסיכום האנטרופיה שונה מזו ששימשה בתיאור הגבול ההולוגרפי המקורי. גבולו של בוסו מתייחס לא לאנטרופיה של איזור בזמן יחיד, אלא לסכום האנטרופיות של אתרים בזמנים שונים: אלה ש"מוארים" באור הבוקע מהמשטח.
גבול בוסו חובק גבולות אנטרופיה אחרים, אך הוא פטור מחסרונותיהם. אפשר להגיע גם לגבול האנטרופיה האוניברסלי וגם לצורת ט'הופט-ססקיינד של הגבול ההולוגרפי מגבול בוסו עבור כל מערכת מבודדת שאינה מתפתחת במהירות, וששדה הכבידה שלה אינו חזק. אם יש חריגה מהתנאים האלה – למשל, בכדור של חומר קורס שכבר נמצא בתוך חור שחור – מתמוטטים הגבולות האלה בסופו של דבר, אבל גבול בוסו ממשיך לעמוד בתוקפו. כמו כן הראה בוסו שאפשר להשתמש באסטרטגיה זו כדי לאתר את המשטחים הדו-ממדיים שעליהם אפשר לצבוע הולוגרמות של העולם.
מהפכת המידע
חוקרים רבים הציעו גבולות אנטרופיה אחרים. ריבוי הווריאציות על הנושא ההולוגרפי מלמד בבירור שהנושא טרם הגיע למעמד של חוק פיזיקלי. אבל גם אם אורח החשיבה ההולוגרפי עדיין אינו מובן במלואו, דומה שהוא כבר התבסס בפיזיקה. ועמו באה ההכרה בכך שהאמונה הבסיסית הרווחת זה חמישים שנה, כאילו תיאוריית השדה היא שפתה העילאית של הפיזיקה, חייבת לפנות את הדרך. שדות (למשל השדה האלקטרומגנטי) משתנים בהתמדה מנקודה לנקודה, ולכן הם מתארים אינסוף דרגות חופש. גם תיאוריית מיתרי העל חובקת מספר אינסופי של דרגות חופש. ההולוגרפיה מגבילה את מספר דרגות החופש שיכולות להתקיים בתוך המשטח הגבולי למספר סופי; לא ייתכן אפוא שתיאוריית שדה כלשהי, המכילה אינסוף, תהיה המלה האחרונה. זאת ועוד, גם אם יטופל האינסוף כהלכה, עדיין יעמוד בעינו הצורך לטפל כראוי בתלותו המסתורית של המידע בשטח הפנים.
ייתכן שההולוגרפיה תורה את הדרך לתיאוריה טובה יותר. מה טיבה של התיאוריה היסודית? חשיבה הגיונית ושקולה שעוברת דרך ההולוגרפיה הביאה אחדים, ובראשם לי סמולין ממכון פרימטר לפיזיקה תיאורטית בווטרלו, לכלל מסקנה שתיאוריה סופית שכזו צריכה לעסוק לא בשדות, ואף לא במרחב-זמן, אלא בחילופי מידע בין תהליכים פיזיקליים. אם כך יהיה, הרי שתפיסת המידע כיסודו של טבע הדברים תמצא את ביטויה הראוי.
הצעות לקריאה נוספת:
Jacob D. Bekenstein, "Black Hole Thermodynamics", Physics Today, Vol. 33, No. 1 (January 1980), pp. 24-31.
Kip S. Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy (New York, W.W. Norton, 1995).
Leonard Susskind, "Black Holes and the Information Paradox", Scientific American, April 1997.
Stephen W. Hawking, "The Quantum Mechanics of Black Holes", Scientific American, January 1977.
Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity (New York, Basic Books, 2002).
|
