ציוני דרך
בעונג רב קיבלתי את ההזמנה להשתתף בסימפוזיון שנערך במאי 2003 במרכז המחקר של יבמ ע"ש תומס ג' ווטסון לכבוד יום הולדתו השישים של צ'רלס בנט. לראשונה שמעתי על עבודתו של צ'רלי כשהתחלתי להתעניין במידע קוואנטי, במהלך ביקור אצל ג'ון וילר באוניברסיטת טקסס באוסטין ב-1979. אבל את צ'רלי עצמו פגשתי רק בקיץ של 1986, כששהיתי חודשיים ב-MIT. שנינו התגוררנו בביתו של טום טופולי, שגם היה מארחנו ב-MIT. טום קנה בית מט-לנפול ברחוב הווארד, ועבד קשה כדי לעשותו ראוי למגורים. משפחתו השתכנה בקומה השלישית; אני קיבלתי דירה קטנה בקומה השנייה, שהתאימה לי להפליא; ואילו צ'רלי, תיאו וילדיה גרו בדירה גדולה יותר, גם כן בקומה השנייה. קומת הקרקע עדיין לא שופצה, ונראתה כמו גל הריסות.
הסימפוזיון ציין גם מלאת עשור שנים לגילוי הטלפורטציה הקוואנטית, שתוארה במאמר שהיה לי הכבוד לחתום עליו לצד שמותיהם של צ'רלס בנט, ז'יל ברסאר, קלוד קרפו, רישאר ז'וזה וויליאם ווטרס.[i] אדבר כאן רק על כותרת המאמר, "טלפורטציה של מצב קוואנטי לא-ידוע באמצעות כפל ערוצים, קלאסי ואיינשטיין-פודולסקי-רוזן", ואספר את הזכור לי על הולדת העבודה. אם זיכרוני אינו מושלם, ואם אסלף בלא כוונה היבט כלשהו של הסיפור, אני מתנצל מראש.
באוקטובר 1992 קיבלתי דוא"ל מביל ווטרס (שאותו הכרתי באוניברסיטת טקסס באוסטין, שם למד), ובו נאמר כי הוא ואחרים באוניברסיטת מונטריאול נתקלו בבעיה מעניינת; הוא ביקש את עצתי. כשהתבהרו הדברים, והתחלנו לחשוב על כתיבת מאמר של שישה מחברים-שותפים, מצאנו את עצמנו מתווכחים על כל קוצו של יו"ד בטקסט. הכול נעשה בדוא"ל, משום שהיינו פזורים בחמישה מקומות שונים, בארבע ארצות ובשמונה אזורי זמן. אחדים מאיתנו עבדו בשעה שאחרים נמו על משכבם. צ'רלי התלוצץ, "השמש לעולם אינה שוקעת על עבודתנו המשותפת," ומכאן החל ויכוח על השאלה מיהו המלך שאמר זאת לראשונה. בהתחלה חשבנו שאולי היה זה קרלוס החמישי, אך בעקבות עבודת מחקר קלה התברר לנו שהיה זה פליפה השני.
היו כמה רגעים ראויים להיזכר במהלך הכנתו הסופית של הטקסט. ביום שישי אחד אחר הצהרים שלח אלי קלוד קרפו דוא"ל מפריס: מה קורה אם החלקיק של אליס, שמצבו אמור להישלח בטלפורטציה, שזור בעצמו עם חלקיק אחר, רחוק מאוד? האם החלקיק של בוב ישתזר עם החלקיק האחר ההוא, בלא שבא עמו מעולם בפעולת-גומלין? לא יכולתי להשיב מיד, ובינתיים הגיע הזמן להתיישב לסעודת ערב שבת עם משפחתי. תוך כדי אכילה קפצתי פתאום ממקומי, רצתי אל המחשב וכתבתי לקלוד, "mais oui" – הוא המציא מחדש את חילוף השזירה (entanglement swapping)![ii]
צ'רלי ביצע את רוב העריכה. כשהכול נראה בסדר, שלחתי אליו דוא"ל וכתבתי בשורת הנושא את המלה imprimatur (גושפנקת האישור של האינקוויזיטור הגדול). צ'רלי הגיש את המאמר לביטאון Physical Review Letters (להלן PRL), וכתב לכולנו, alea jacta est (הפור הוטל), כדברי יוליוס קיסר כאשר חצה את הרוביקון. בניגוד לציפיותינו, המבקרים לא פסלו את יצירתנו. לאחר זמן נודע לנו כי אחד מהם היה דייוויד מרמין, שהמליץ בתוקף על פרסום המאמר. רק מאוחר יותר פנה דייוויד לדקונסטרוקציה של הטלפורטציה, וגם של הקידוד הצפוף.[iii]
יש עניין לא רק בתוכנו של מאמר הטלפורטציה, אלא גם במה שאין בו. לא תמצאו שם תודות על תמיכה מאת הקרן הלאומית למדעים של ארה"ב (NSF), המנהל הלאומי לחלל ולאווירונאוטיקה (נאס"א), הסוכנות למיזמי מחקר ביטחוניים מתקדמים של ארה"ב (DARPA), מעבדת המחקר של חיל הים האמריקני (NRL) או גורמים מממני מחקר אחרים. מעולם לא הגשנו הצעת מחקר: היא היתה נפסלת בלאו הכי. לא היה לנו פנאי לדברים כאלה.[1] עתה אעבור לדיון בכותרת המאמר.
טלפורטציה
איני נוהג לצפות בטלוויזיה, והמונח טלפורטציה היה חשוד בעיני. במילון ובסטר מצאתי את ההגדרה, "העברה תיאורטית של חומר במרחב על-ידי המרתו לאנרגיה, ובהמשך המרה חוזרת בנקודת הקצה." מחיתי ואמרתי שזה בכלל לא מה שחשבנו עליו, אבל צ'רלי הרגיע אותי ואמר שנוכל להסתמך על ספרו של רוג'ר פנרוז, הגיגי המלך החדשים (1989).[iv] איימתי שאסתלק מהשתתפותי בכתיבה אם נצטט אותו. כעבור כמה ימים כתב אלי צ'רלי שהוא מעוניין להשתמש במדידות חלשות ולצטט מאמר מאת אהרונוב וויידמן. הפעם לא נפלתי בפח. למעשה, יכולנו לצטט מאמר אחר של אותם מחברים,[v] שהציג לראשונה את השימוש בקידוד צפוף (dense coding). אבל הצגת הטכניקה הזאת היתה מוזרה בשעתה עד כדי כך שאיש מחברי הקהילה הקטנה עדיין של העוסקים במידע קוואנטי לא נתן את דעתו עליה.
היתה לנו גם בעיה סמנטית אחרת: אני הצעתי לומר שהמצב הקוואנטי הוא ערטילאי (disembodied) ומגולגל (במובן של גלגול נשמות, reincarnation). הדבר לא התקבל על דעת עמיתי. לימים, כששאל אותי עיתונאי אם אפשר להעביר בטלפורטציה לא רק את הגוף אלא גם את הנשמה, עניתי לו, "רק את הנשמה." ואפילו זו היתה פשטנות מופרזת מאוד.
מצב קוואנטי לא-ידוע
רעיון המצב הקוואנטי מגלם את מה שידוע על הכנתה של מערכת.[vi] מצב קוואנטי לא-ידוע הוא תרתי דסתרי, אוקסימורון, בדיוק כמו "הצעת מחקר". אנריקו פרמי אמר שאם אין הפתעה, אין מחקר.
בכל אופן, בוב ואליס אינם אנשים בכלל. הם עצמים דוממים. ראיתי פעם שולחן אופטי שבו סומן פריט חומרה אחד בשם "אליס", ופריט אחר נשא את השם "בוב". החומרה אינה יודעת מאומה. מה שעובר בטלפורטציה בו-זמנית ממערכת אחת (אליס) למערכת אחרת (בוב) הוא הישימות של ידיעת המכין את מצבה של קוביט מסוימת בשתי המערכות.[vii] המכין, שהידע שלו הוא העובר בטלפורטציה, הוא כריס, אדם אמיתי.
החלק הבא של הכותרת מתייחס לכפל האפיקים, האפיק הקלאסי ואפיק אפ"ר. הטקסט שהגשנו כלל את ראשי התיבות EPR, ומערכת PRL פתחה אותם: electron paramagnetic resonance. אבל מישהו הבחין בשגיאה והחזיר לאיינשטיין, לפודולסקי ולרוזן את כבודם האבוד.[2] כפל האפיקים, הקלאסי ואפ"ר, עודנו בגדר בעיה פתוחה, ואדון בכך בהמשך.
ארכיאולוגיה קוואנטית
כפי שהעיר צ'רלי בדרך אגב, "גילוי הטלפורטציה הקוואנטית צמח מתוך ניסיון לזהות איזה מקור אחר, מלבד ההימצאות בפועל באותו המקום, שהיה מאפשר לאליס ולבוב לבצע מדידה אופטימלית של מצבי פרס-ווטרס."[viii] ב-1980, במהלך ביקורי השני אצל ג'ון וילר באוניברסיטת טקסס באוסטין, חלקתי משרד עם ביל ווטרס, שהגיש זמן קצר לפני כן את תזת הדוקטורט שלו, "רכישת מידע ממדידות קוואנטיות". בתזה שלו היו שני משקיפים, אבותיהם הקדומים של אליס ובוב, שהשתמשו בפוטונים מקוטבים כדי לתקשר מידע קוואנטי. זמן קצר אחר-כך קראתי מאמר מרתק מאת צ'רלי, תחת הכותרת "אסימוני רכבת תחתית שאינם ניתנים לזיוף,"[ix] שמצאתי במהלך חיפוש ביבליוגרפי אחר עבודתו, משום שהתעניינתי בתרמודינמיקה של מידע.
ב-1989 ארגן מכון סנטה פה (SFI) סדנה על מורכבות, אנטרופיה והפיסיקה של המידע (תמונה 1).
תמונה 1: שיחות לא-פורמליות בסדנת SFI על מורכבות, אנטרופיה והפיסיקה של המידע, 1989. משמאל לימין: ויליאם ווטרס (מכללת ויליאמס, מסצ'וסטס), בנג'מין שומייקר (מכללת קניון, אוהיו), אשר פרס (הטכניון, ישראל), וורנר מילר (בסיס חיל האוויר קרטלנד, ניו מקסיקו). צילום: קרי הרץ, מועתק ברשות. |
ביל היה שם בשבתון, ואני נשארתי לשבועיים נוספים כדי לעבוד איתו. שוחחנו על הבעיה הבאה: אם נתונות שתי מערכות קוואנטיות ששרויות באותו המצב, האם נוכל לרכוש יותר מידע על-ידי מדידה משותפת של שתיהן מאשר במדידות נפרדות של כל אחת מהן, בעזרת תקשורת קלאסית? (ראשי התיבות LOCC, דהיינו פעולה מקומית ותקשורת קלאסית, עדיין לא היו בנמצא.) חושי אמרו לי שמדידה משותפת תהיה יעילה יותר בכמה מקרים, ואילו חושיו של ביל אמרו לו את ההפך מזה. הצעתי כמה דוגמאות פשוטות, ובתשובה הוכיח לי ביל שהצדק דווקא עמו. אחרי שעזבתי את SFI שמרנו על קשר באמצעות ביטנט, קודמתה של האינטרנט. שמעתי על קיומה של ביטנט ב-1985, כאשר ביקש מארי פשקין מהמעבדה הלאומית ארגון ליצור קשר עמי, ושאל את הארי ליפקין ממכון ויצמן מהי הכתובת האלקטרונית שלי. בעזרתו של הארי עלה בידי לקבל את המסר האלקטרוני הראשון בחיי, מאת מארי: "ברוך הבא לעולם החדש והאמיץ של ביטנט!" אז לימדתי את ביל להשתמש בכישוף הזה, וקידמתי את פניו בברכה לעולם החדש והאמיץ. כל הדברים האלה היו פרימיטיביים לגמרי במושגי ימינו, עם מודם של 1,200 באוד. אחרי עוד כמה ניסיונות שלא עלו יפה לשכנע את ביל שמדידה משותפת יכולה להיות יעילה יותר, הצעתי שילוש מצבים,[3] שזו תכונתו:
זהו המספר השלילי ביותר שאפשר לקבל kdch שלושה מצבים כלשהם. לדוגמה, פוטונים שקוטבו ליניארית בהפרדה של 2p/3, או חלקיקי ספין ½ שקוטבו בהפרדה של 3p/4, יוצרים שילוש (שימו לב, יש לסובב פרמיונים ב-4p כדי להחזירם למצב המקורי). היה זה ניחוש מוצלח. לא מזמן הוכח[x] שמדידת שילוש כרוכה במחיר השזירה הגדול ביותר מכל המדידות הערכיות של אופרטורים חיוביים (POVM).
עם צמד מצבי שילוש זהים, אי-אפשר להשיג את המידע ההדדי שניתן לקבלו ממדידה משותפת באמצעות מספר קטן של שלבי LOCC, וביל התקין שיטת "פינג-פונג" עם שרשרת של מדידות POVM, שהתכנסה לקראת אופטימום כלשהו. החישובים האלה היו ארוכים וקשים. ביל השתמש במחשב מקינטוש עם תוכנת פסקל. אני השתמשתי במחשב PS/2 של יבמ ובתוכנת פורטרן. כשקיבלנו תוצאות שעלו בקנה אחד, היינו בטוחים למדי שלא נפלה שום שגיאה מספרית. המידע ההדדי האופטימלי שהצלחנו לקבל בדרך זו היה מועט מהמידע שהתקבל במדידה משותפת. ב-15 בפברואר 1990 הגשנו מאמר על עבודתנו,[xi] ואין צורך לומר שהסתבכנו מיד עם המבקרים. התגובה הטיפוסית היתה, "אולי זה נכון, אבל למה זה מעניין?" כשניסיתי להסביר את המאמר לאחד מעמיתי בטכניון, הוא השיב בבדיחות-דעת זעופה, "זה סתם הנדסה." ובכן, PRL דחה את מאמרנו, ונאלצתי לשכנע את ביל הסרבן לערער בפני ועדת העורכים של הביטאון. הפוסק בערעורנו היה טוני לגט מאוניברסיטת אילינוי, ויצירתנו ראתה אור סוף-סוף ב-4 במרס 1991.
פסגת הטלפורטציה
באוקטובר 1992 השתתפתי בכינוס על פיסיקה ומחשוב בדאלאס. סיפרתי לצ'רלי על עבודתי עם ביל, והתברר לי שהוא כבר ידע עליה. הוא שלף עותק מהתיק שלו ואמר לי שהוא מראה אותו לכולם. אחר-כך הציג אותי לפני ז'יל ברסאר, שעמו התיידדתי מיד משום שיכולנו לשוחח בצרפתית. בהמשך הכרתי גם את רישאר ז'וזה, שהיה אז במונטריאול, ואת קלוד קרפו, שישב אז בפריס.
ז'יל הזמין את ביל להעביר סמינר באוניברסיטת מונטריאול. אני עצמי (שלא כמו רישאר, צ'רלי וקלוד) לא הייתי שם, אבל שמעתי אחר-כך שבמהלך פרק השאלות שלאחר ההרצאה שאל צ'רלי אם שני המשתתפים יכולים להשיג את התוצאה האופטימלית אם הם שותפים לזוג אפ"ר. הדיון נמשך במשרדו של ז'יל. השאלה היתה איזה משאב אחר יאפשר לאליס ולבוב, הרחוקים זה מזה, לבצע מדידה אופטימלית של מצבי השילוש. אחרי שחזרו כולם הביתה שלח אלי ביל דוא"ל על הבעיה. את המשך הסיפור כבר סיפרתי.
סדנת טורינו הראשונה על מידע קוואנטי נערכה ביוני 1993. כיום משתתפים מאות אנשים בכינוסי מידע קוואנטי, אבל באותה עת היינו קבוצת חסידים קטנה מאוד (תמונה 2). שני האדונים בחליפות ובעניבות הם האנשים החשובים ביותר: אחד מהם אוסף כספים ל-ISI (המכון לחילופים מדעיים בטורינו), והאחר מוציא את הכספים האלה על ארגון כנסים. כל הנראים בתצלום פעילים עדיין בתחום, מלבד מאי-מאי לאם, שעברה לרעות בשדות אחרים – למרבה צערה של קהילת המידע הקוואנטי.
תמונה 2: סדנת טורינו הראשונה על מידע קוואנטי, יוני 1993. משמאל לימין, שורה ראשונה: מאסימו פלמה, קלוד קרפו, ז'יל ברסאר, צ'רלס בנט, ברונו הוטנר, אומש וזיראני, דייוויד דויטש; שורה שנייה: מאי-מאי לאם, ארטור אקרט, אנדרה ברתיום, וויצק צורק, אשר פרס, ניל גרשנפלד, ביל ווטרס, מריו רסטי, רוג'ר פנרוז; שורה שלישית: בן שומייקר, קרל קייבס, חואן-פבלו פס, גינטר מאהלר, אנדי אלברכט, רישאר ז'וזה, נורמן מרגולוס, ג'וזפה קסטניולי. באדיבות המכון לחילופים מדעיים, טורינו. |
תמונה קבוצתית
מזג האוויר בווילה גואלינו היה נפלא. קלוד מסר את מצלמתו לאנדרה ברתיום, שצילם תמונה קבוצתית של ששת הטלפורטציוניסטים (תמונה 3).
תמונה 3: ששת ה"אבות" של המאמר על טלפורטציה קוואנטית מ-1989 בסדנת טורינו על מידע קוואנטי, 1993. בכיוון השעון מהפינה השמאלית העליונה: רישאר ז'וזה (אוניברסיטת מונטריאול), ויליאם ווטרס (מכללת ויליאמס, מסצ'וסטס), צ'רלס בנט (יבמ, יורקטאון הייטס, ניו יורק), אשר פרס (הטכניון, ישראל), קלוד קרפו (המעבדה למידע של אקול נורמאל סיפרייר, פריס), ז'יל ברסאר (אוניברסיטת מונטריאול). צילום: אנדרה ברתיום, מועתק ברשות. |
כשחזר קלוד לפריס, הוא הסדיר את פרסומו של מאמר על טלפורטציה קוואנטית בביטאון המדע הפופולרי Science et Vie.[xii] במאמר נכללה התמונה, מעל הכותרת "Les pères de la téléportation".[4] בחודש שלאחר-מכן שהיתי כמה ימים בטורניי וקניתי עותק של הביטאון בדוכן עיתונים, לא לפני שווידאתי כי תמונתי אכן נמצאת בו. בעל הדוכן היה המום.
התמונה הקבוצתית הבאה שלנו, בהרכב זהה, צולמה פעמיים בקיימברידג' שבבריטניה ביולי 1999 (תמונה 4). לא הרחק מאתנו רבץ חתול גדול, וצ'רלי טיפל בתמונה כך שהחתול (שקיבל מאתנו את השם טלפורטוס) נראה מעוות בתמונה הראשונה, אך מיושר באמצעות סיבוב פאולי תקין בתמונה השנייה
תמונה 4: קבוצת המחברים נפגשת שוב בקיימברידג' שבאנגליה, 1999. הם חוזים ביישום שיטתם על חיה קטנה וצמרירית. בתצלום השמאלי, הטלפורטוס טרם עבר את המרת פאולי המתקנת הסופית. תעלולי מעבדת צילום מאת צ'רלס בנט, מועתקים ברשות. |
תמונה קבוצתית שלישית, באותם מיקומים קנוניים, צולמה בסימפוזיון יבמ לרגל יום הולדתו השישים של צ'רלי (תמונה 5).
תמונה 5: המחברים נפגשים שוב ב-2003, בסימפוזיון לרגל יום הולדתו ה-60 של צ'רלס בנט במרכז המחקר של יבמ ע"ש תומס ג' ווטסון, יורקטאון הייטס, ניו יורק. תצלום מאת צ'רלס בנט, מועתק ברשות. |
כפל אפיקים, קלאסי וקוואנטי
לכפל האפיקים, הקלאסי והקוואנטי, היסטוריה ממושכת בתורת המידע הקוואנטי. בפרוטוקול 84BB הקלאסי,[xiii] מחירו של כל ניסיון מוצלח של אליס ובוב ליצור סיבית סודית אקראית, שתהיה משותפת לשניהם, הוא קוביט אחת ושתי סיביות גלויות של מידע קלאסי. בפרוטוקול הטלפורטציה,[xiv] ההכנה מרחוק של קוביט אחת מחייבת צמד אפ"ר אחד, קוביט מקומית אחת ושתי סיביות של מידע גלוי.
כפל ערוצים דרוש גם למידע קוואנטי "שאי-אפשר לבטאו", כלומר מידע שאי-אפשר לייצג אותו כרצף של סמלים בדידים. לדוגמה, נניח שאליס רוצה להצביע בפני בוב על כיוון במרחב. אם יש להם מערכת קואורדינטות משותפת ששניהם יכולים להתייחס אליה, או אם הם יכולים ליצור מערכת כזו באמצעות תצפית בכוכבי־שבת רחוקים, אליס משגרת לבוב בפשטות גמורה את רכיבי הווקטור היחידתי n לאורך כיוון זה, או את הקואורדינטות הכדוריות שלו, q ו-f. אבל אם אי-אפשר לבסס מערכת קואורדינטות משותפת, כל מה שהיא יכולה לעשות הוא לשגר חפץ פיסי כלשהו, למשל גירוסקופ, שתנוחתו נחשבת יציבה.
בעולם הקוואנטי ממלאת את תפקיד הגירוסקופ מערכת בעלת תנע זוויתי גבוה. נאמנות התמסורת מוגדרת על פי רוב בתורת
שם c היא הזווית בין n האמיתי לבין הכיוון העולה ממדידתו של בוב.
המשמעות הפיסיקלית של F היא שהאי-נאמנות,  היא ריבוע שגיאת המדידה הממוצעת.[xv] מטרת הנסיין, מזעור ריבוע השגיאה הממוצעת, שווה למיקסום הנאמנות.
מסאר ופופסקו[xvi] הניחו שאליס שלחה N חלקיקים בעלי ספינים מקבילים, מקוטבים לאורך n, והראו כי 1-F=1/(N+2). אין פלא איפוא שעבור N=2, ספינים מקבילים אינם האות האופטימלי, ונאמנות קצת יותר גבוהה מתקבלת מספינים מנוגדים.[xvii] התוצאה הזאת, הטובה יותר, מחייבת כמובן שיגור סיבית קלאסית, כדי לזהות את הספין המקביל ל- nואת הספין המנוגד לו. מכאן נשאלת השאלה מהו מצב האות היעיל ביותר עבור N ספינים: באיזו מהירות מתקרב F אל 1? פרס וסקודו[xviii] וקבוצה בברצלונה[xix] הראו כי התוצאה האופטימלית היא גישה ריבועית, כפי שמראה תמונה 6.
תמונה 6: שיגור כיוון באמצעות N ספינים. עיגולים ריקים מייצגים את תוצאותיהם של מסאר ופופסקו (הערת שוליים 16); עיגולים מלאים – את תוצאות פרס וסקודו (הערת שוליים 15). ציר Y – אי-נאמנות, ציר X – מספר חלקיקים |
אבל לשם כך יש צורך ש-N הספינים יהיו מובחנים (לדוגמה, פרוטון, אלקטרון, וכו'). יש אם כן !N דרכים אפשריות לסימון N הספינים האלה, והדבר מחייב תמסורת של בערך N log2N סיביות קלאסיות.
אפ"ר לעומת טלפורטציה קוואנטית
בתרחיש אפ"ר-בום,[xx] אליס ובוב שותפים לזוג חלקיקים של ספין ½ במצב סינגלט. אליס מודדת רכיב של הספין שלה, ויודעת בו־זמנית מהו הרכיב המשלים של הספין של בוב,[xxi] כלומר, את התוצאה שמקבל בוב אם הוא מודד (לפני מדידתה של אליס או אחריה) את אותו הרכיב של הספין שלו. אבל אליס אינה יכולה לבחור את התוצאה שהיא מקבלת.
בתרחיש הטלפורטציה, כריס בוחר את מצב הקוביט שהוא מכין בסמוך למכשיר המסומן בשם אליס. הוא מכין גם צמד אפ"ר ומציב את שני הספינים השזורים עם אליס ובוב הרחק זה מזה. אז נעשה שימוש באליס למדידת שני הספינים במיקום שלה, ולכן יודע כריס איזו תוצאה התקבלה מבין ארבע התוצאות האפשריות; ואז יודע כריס בבת-אחת את מצב הספין הממוקם אצל בוב.
התרחיש יכול להיפסק כאן. אין שום סיבה משכנעת לשדר את שתי הסיביות הקלאסיות אל בוב, אם אנחנו מסתפקים בטלפורטוס מסובב, כמו בחלק השמאלי של תמונה 4. אלא שאז לא היה התהליך נקרא בשם טלפורטציה, ולא היה מעורר תשומת-לב כה רבה...
מראי מקום:
[i] C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres, and W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).
[ii] B. Yurke and D. Stoler, Phys. Rev. A 46, 2229 (1992).
[iii] N.D. Mermin, Phys. Rev. A 65, 012320 (2002).
[iv] R. Penrose, The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics (Oxford University Press, 1989) ראו גם, לדוגמה: http://ase.tufts.edu/cogstud/papers/penrose.htm.
[v] L. Vaidman, Y. Aharonov, and D.Z. Albert, Phys. Rev. A 58, 1385 (1987).
[vi] A. Peres, Amer. J. Phys. 52, 644 (1984).
[vii] C.A. Fuchs and A. Peres, Phys. Today 53, 70 (2000).
[viii] C.H. Bennett, D.P. DiVincenzo, C.A. Fuchs, T. Mor, E. Rains, P.W. Shor, J.A. Smolin, and W.K. Wootters, Phys. Rev. A 59, 1070 (1999).
[ix] C.H. Bennett, G. Brassard, S. Breidbart, and S. Wiesner, in Advances in Cryptography (Proceedings of Crypto-82, Plenum, New York, 1983), p. 267.
[x] R. Jozsa, M. Koashi, N. Linden, S. Popescu, S. Presnell, D. Shepherd, and A. Winter ; ראו: http://arxiv.org/quant-ph/0303167.
[xi] A. Peres and W.K Wootters, Phys. Rev. Lett. 66, 1119 (1991).
[xii] H. Guillemot, Science et Vie, No. 910, 40 (1993).
[xiii] C.H. Bennett and G. Brassard, in Proceedings of the IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, India (IEEE, New York, 1984), p. 175.
[xiv] C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Josza, A. Peres, and W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).
[xv] A. Peres and P.F. Scudo, Phys. Rev. Lett. 86, 4160 (2001).
[xvi] S. Massar and S. Popescu, Phys. Rev. Lett. 74, 1259 (1995).
[xvii] N. Gisin and S. Popescu, Phys. Rev. Lett. 83, 432 (1999).
[xviii] A. Peres and P.F. Scudo, Phys. Rev. Lett. 86, 4160 (2001).
[xix] E. Bagan, M. Baig, A. Brey, R. Muñoz-Tapia, and R. Tarrach, Phys. Rev. A 63, 052309 (2001).
[xx] D. Bohm, Quantum Theory (New York: Prentice Hall, 1951), p. 614.
[xxi] A. Peres, Phys. Rev. A 61, 022117 (2000).
|
